Atualizado em 15 de setembro de 2026

PA e PG no Enem 2026: Progressão Aritmética e Geométrica

PA e PG estão na Matriz de Referência oficial do Enem como 'sequências e progressões'. Veja termo geral, soma dos termos e como identificar cada uma em problemas contextualizados.

Resumo — o que você vai aprender

  • PA e PG estão listadas na Matriz de Referência oficial do Enem como 'sequências e progressões', dentro dos Conhecimentos numéricos de Matemática.
  • PA tem razão constante que soma (crescimento linear); PG tem razão constante que multiplica (crescimento exponencial) — essa é a diferença que resolve a maioria das confusões.
  • O Enem quase nunca escreve 'isto é uma PA' ou 'isto é uma PG' no enunciado — o problema aparece disfarçado em juros, crescimento populacional ou parcelamento.
  • O truque para identificar: se a diferença entre valores consecutivos é sempre a mesma, é PA; se a razão (divisão) entre eles é sempre a mesma, é PG.
  • Setembro e outubro são a reta final antes do Enem 2026: progressões rendem pontos rápidos porque dependem de duas fórmulas de termo geral e duas de soma, bem treinadas.

Uma colônia de bactérias dobra de tamanho a cada hora. Uma fileira de poltronas de teatro tem sempre 3 lugares a mais que a fileira anterior. Um carro perde sempre a mesma fração do seu valor a cada ano. Três cenários, três respostas matemáticas diferentes — mas dois deles escondem o mesmo objeto: uma progressão. E progressões são um dos poucos assuntos de Matemática do Enem que dependem de pouquíssimas fórmulas para resolver quase tudo que a prova pode pedir.

Onde PA e PG estão na Matriz de Referência

A Matriz de Referência do Enem, documento oficial do INEP que define o que cada área do conhecimento pode cobrar, lista entre os "Conhecimentos numéricos" da área de Matemática e suas Tecnologias: "razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem". Progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG) são exatamente o item "sequências e progressões" — conteúdo listado no documento que baliza a prova, não um tema que "costuma cair" por tradição informal.

Isso também explica por que progressões aparecem tão perto de juros e porcentagem nas provas: como você vai ver mais adiante, juro composto é, estruturalmente, uma PG disfarçada de problema financeiro.

O que é uma Progressão Aritmética (PA)

Uma PA é uma sequência de números em que a diferença entre um termo qualquer e o termo anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante se chama razão, representada por r, e ela se soma a cada passo.

Exemplo: 3, 7, 11, 15, 19... Aqui, cada termo é o anterior mais 4. Logo, r = 4. Se r for positivo, a PA é crescente; se for negativo, é decrescente; se r = 0, todos os termos são iguais (PA constante).

A fórmula do termo geral permite encontrar qualquer termo sem escrever a sequência inteira:

an = a1 + (n − 1) · r

Onde a1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo que você quer. No exemplo acima, o 10º termo é a10 = 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 36 = 39.

Soma dos termos de uma PA

Para somar os n primeiros termos de uma PA, a fórmula é:

Sn = n · (a1 + an) / 2

Ou seja: some o primeiro termo com o último, multiplique pela quantidade de termos e divida por 2. Usando o exemplo das poltronas de teatro citado no início — 5 fileiras, a primeira com 12 lugares, cada fileira seguinte com 3 lugares a mais — temos a1 = 12, r = 3, n = 5. O último termo é a5 = 12 + 4 · 3 = 24. A soma total de lugares é S5 = 5 · (12 + 24) / 2 = 5 · 36 / 2 = 90 lugares.

O que é uma Progressão Geométrica (PG)

Uma PG também é uma sequência de números, mas a relação entre termos consecutivos não é uma diferença constante — é uma razão constante que multiplica. Essa razão se chama q.

Exemplo: 2, 6, 18, 54, 162... Aqui, cada termo é o anterior multiplicado por 3. Logo, q = 3. Se q > 1, a PG cresce cada vez mais rápido (crescimento exponencial); se 0 < q < 1, decresce se aproximando de zero; se q for negativo, os termos alternam de sinal.

A fórmula do termo geral é:

an = a1 · q^(n − 1)

O detalhe que faz toda a diferença para a PA está no expoente: o (n − 1) não multiplica a1, ele eleva a razão q. É esse formato — a variável no expoente — que faz a PG crescer de forma exponencial em vez de linear, exatamente como descreve a comparação entre os dois tipos de progressão em uma análise dos temas de Matemática mais cobrados nos vestibulares: "a P.A. apresenta um crescimento ou decrescimento linear, enquanto a P.G. apresenta um crescimento ou decrescimento exponencial".

Soma dos termos de uma PG (finita)

Para somar os n primeiros termos de uma PG com razão diferente de 1, a fórmula é:

Sn = a1 · (q^n − 1) / (q − 1)

Exemplo: some os primeiros 5 termos da PG 2, 6, 18, 54, 162. Aqui a1 = 2, q = 3, n = 5. S5 = 2 · (3^5 − 1) / (3 − 1) = 2 · (243 − 1) / 2 = 2 · 242 / 2 = 242.

Soma infinita de uma PG (quando ela existe)

Quando a razão q está entre −1 e 1 (isto é, |q| < 1), os termos da PG ficam cada vez menores, se aproximando de zero — e nesse caso é possível somar infinitos termos e ainda chegar a um valor finito:

S = a1 / (1 − q)

Essa fórmula tem uma aplicação clássica: transformar uma dízima periódica em fração. A dízima 0,222... pode ser escrita como a soma infinita 2/10 + 2/100 + 2/1000 + ..., uma PG com a1 = 2/10 e q = 1/10. Aplicando a fórmula: S = (2/10) / (1 − 1/10) = (2/10) / (9/10) = 2/9. Ou seja, 0,222... = 2/9.

Como o Enem esconde PA e PG dentro de um contexto

O Enem praticamente nunca escreve "resolva esta PG" ou "esta é uma PA" no enunciado. O problema aparece embrulhado em uma situação do dia a dia, e cabe a você reconhecer o padrão matemático por trás dela. Um material educacional sobre o assunto descreve esse comportamento com precisão: "em quase todos os vestibulares, incluindo o Enem, é comum encontrar pelo menos uma questão sobre progressões... elas podem aparecer em perguntas sobre juros simples ou compostos, crescimento populacional, parcelamento de compras, entre outros", segundo este conteúdo sobre progressão aritmética e geométrica.

Alguns disfarces comuns:

  • Crescimento populacional ou bacteriano — uma população que dobra, triplica ou cresce por um fator fixo a cada período é PG.
  • Depreciação de um bem — um carro que perde sempre a mesma fração percentual do valor a cada ano é PG (decrescente); se perdesse sempre o mesmo valor fixo em reais, seria PA.
  • Poltronas de teatro ou arquibancada — fileiras que aumentam sempre pelo mesmo número fixo de lugares formam uma PA.
  • Juros compostos — já discutido em detalhe no post sobre Juros e Porcentagem no Enem 2026, o montante de um juro composto cresce exatamente como uma PG de razão (1 + i), porque o capital de cada mês é o do mês anterior multiplicado pelo mesmo fator.

PA ou PG? O truque para identificar em segundos

Antes de aplicar qualquer fórmula, pegue três valores consecutivos do problema e teste duas contas simples:

  1. Subtraia um valor do seguinte. Se a diferença for sempre a mesma nos dois pares testados, é PA.
  2. Divida um valor pelo anterior. Se a razão (o resultado da divisão) for sempre a mesma nos dois pares testados, é PG.

Exemplo prático: um bem vale R$ 20.000, R$ 18.000 e R$ 16.000 nos três primeiros anos. A diferença é sempre R$ 2.000 — é PA (depreciação por valor fixo). Já um bem que vale R$ 20.000, R$ 16.000 e R$ 12.800 tem diferenças de R$ 4.000 e R$ 3.200 — não é PA. Mas a razão entre valores consecutivos é sempre 0,8 (16.000/20.000 = 0,8 e 12.800/16.000 = 0,8) — é PG (depreciação por percentual fixo de 20% ao ano).

Erros comuns

Confundir a razão de PA com a de PG. A razão da PA (r) se soma; a razão da PG (q) multiplica. Usar a fórmula errada — somar quando deveria multiplicar, ou vice-versa — é o erro mais frequente, especialmente quando o enunciado não deixa claro qual das duas está em jogo.

Errar o índice do termo geral. Tanto em an = a1 + (n − 1) · r quanto em an = a1 · q^(n − 1), o expoente (ou multiplicador) é (n − 1), não n. Isso porque a1 já é o primeiro termo — para chegar ao segundo termo você aplica a razão só uma vez, não duas. Esquecer o "menos 1" é um erro pequeno que muda toda a resposta.

Aplicar a fórmula de soma infinita quando |q| ≥ 1. A fórmula S = a1 / (1 − q) só vale quando a razão está entre −1 e 1. Fora desse intervalo, a soma dos infinitos termos simplesmente não existe (ela cresce sem parar), e usar a fórmula mesmo assim gera um resultado sem sentido matemático.

Exercícios resolvidos

Exercício 1 — soma de uma PA

Um teatro tem 5 fileiras de poltronas. A primeira fileira tem 12 lugares, e cada fileira seguinte tem 3 lugares a mais que a anterior. Quantos lugares o teatro tem no total?

Resolução: a1 = 12, r = 3, n = 5. Termo geral: a5 = 12 + (5 − 1) · 3 = 12 + 12 = 24. Soma: S5 = 5 · (12 + 24) / 2 = 5 · 36 / 2 = 90 lugares.

Exercício 2 — termo geral de uma PG

Uma população de bactérias começa com 100 indivíduos e dobra a cada hora. Qual será a população depois de 5 horas?

Resolução: a população depois de 5 horas é o 6º termo da sequência (o 1º termo é a população em t = 0). a1 = 100, q = 2, n = 6. an = 100 · 2^(6 − 1) = 100 · 2^5 = 100 · 32 = 3.200 bactérias.

Exercício 3 — soma infinita de uma PG

Escreva a dízima periódica 0,444... como fração, usando soma de PG.

Resolução: 0,444... = 4/10 + 4/100 + 4/1000 + ..., uma PG com a1 = 4/10 e q = 1/10. S = a1 / (1 − q) = (4/10) / (9/10) = 4/9. Logo, 0,444... = 4/9.

Como encaixar esse assunto na reta final

Setembro e outubro são o período de revisão final antes do Enem 2026. Progressões compensam bastante essa fase porque, diferente de blocos que exigem memorizar muito conteúdo, aqui bastam quatro fórmulas bem internalizadas: termo geral da PA, soma da PA, termo geral da PG e soma da PG (finita e infinita). O ganho de pontos vem de treinar o reconhecimento do padrão — diferença constante ou razão constante — dentro de problemas contextualizados, não de aprender conteúdo novo.

Uma rotina prática: resolva alguns problemas contextualizados (crescimento populacional, depreciação, parcelamento) tentando primeiro classificar se é PA ou PG antes de montar qualquer conta, e só depois aplique a fórmula. Esse hábito de "classificar antes de calcular" é o que separa quem resolve rápido de quem se perde tentando decorar qual fórmula usar em cada caso.

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Matemática · ENEM 2024

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Tipo de serviçoTempo necessário para a leitura completa do contrato (em minuto)
A36
B17
C27
D13
E13
F13

O tempo médio, em minuto, necessário para a leitura completa de um contrato de serviço dentre os listados no quadro é, com uma casa decimal, aproximadamente,

Alternativas

Perguntas frequentes

PA e PG caem oficialmente no Enem?

Sim. A [Matriz de Referência oficial do Enem](https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf) lista, entre os Conhecimentos numéricos da área de Matemática e suas Tecnologias, "razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem". Progressões aritméticas e geométricas são exatamente esse item — não é um palpite de cursinho, está no documento que define o que a prova pode cobrar.

Qual a diferença entre PA e PG?

Na PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma (razão r, que se soma). Na PG, a razão entre um termo e o anterior é sempre a mesma (razão q, que se multiplica). Uma [análise dos temas mais cobrados em Matemática nos vestibulares](https://www.terra.com.br/noticias/educacao/enem/12-temas-de-matematica-mais-cobrados-nas-provas,5f2960dec12897a38683198583d83745a2see45t.html) resume bem: "a P.A. apresenta um crescimento ou decrescimento linear, enquanto a P.G. apresenta um crescimento ou decrescimento exponencial".

Qual a fórmula do termo geral da PA?

an = a1 + (n − 1) · r, onde a1 é o primeiro termo, r é a razão (constante que se soma a cada termo) e n é a posição do termo que você quer encontrar na sequência.

Qual a fórmula do termo geral da PG?

an = a1 · q^(n − 1), onde a1 é o primeiro termo, q é a razão (constante que multiplica cada termo) e n é a posição do termo. O expoente (n − 1) é o que faz a PG crescer de forma exponencial em vez de linear.

O Enem sempre avisa quando o problema é uma PA ou uma PG?

Quase nunca. Progressões aparecem disfarçadas dentro de um contexto — juros, crescimento populacional, parcelamento de compras — sem que o enunciado use os termos "PA" ou "PG". Um material educacional sobre o assunto descreve exatamente esse padrão: "em quase todos os vestibulares, incluindo o Enem, é comum encontrar pelo menos uma questão sobre progressões... elas podem aparecer em perguntas sobre juros simples ou compostos, crescimento populacional, parcelamento de compras, entre outros", conforme [este material sobre progressões](https://cursoanglo.com.br/conteudos/progressao-aritmetica-geometrica-problemas-aplicacoes/). Por isso o primeiro passo é sempre identificar o padrão nos números antes de aplicar qualquer fórmula.

Quando existe soma infinita de uma PG?

Somente quando a razão q está entre −1 e 1 (ou seja, |q| < 1), porque nesse caso os termos ficam cada vez menores e se aproximam de zero, permitindo que a soma converja para um valor finito: S = a1 / (1 − q). Se |q| ≥ 1, a soma infinita não existe (os termos crescem sem limite ou não diminuem).

Quantas questões de PA e PG caem em cada prova do Enem?

Não há um número fixo — o assunto aparece com frequência ao longo dos anos, mas a quantidade exata de questões varia de edição para edição, e nem toda prova traz o mesmo número de itens sobre progressões. Em vez de contar questões, o mais útil é dominar bem as duas fórmulas de termo geral e as duas de soma, porque isso cobre a esmagadora maioria do que costuma ser cobrado.

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6,2 milhões de jovens não estudam nem trabalham no Brasil. Veja dados do MTE 2026 e como argumentar sobre a geração Nem-Nem na redação do ENEM.

Copa do Mundo 2026: 4 temas para arrasar na redação do ENEM

A Copa 2026 gerou quase 10 mil ataques racistas e debates sobre gastos públicos. Veja como usar esses temas na redação do ENEM com argumentação completa.

Ditadura Militar no ENEM 2026: do AI-5 ao 'Ainda Estou Aqui'

'Ainda Estou Aqui' ganhou o Oscar em 2025. O tema do filme — ditadura militar — é um dos mais cobrados no ENEM. Veja como estudar para 2026.

1.º e 2.º dia do ENEM 2026: matérias, horários e estratégia

Saiba o que cai no 1.º e 2.º dia do ENEM 2026, os horários exatos para 8 e 15 de novembro, o que levar e como distribuir seu tempo na prova.

Acesso à leitura no ENEM 2026: como estruturar sua redação

29% dos brasileiros são analfabetos funcionais, aponta o Inaf 2024. Veja dados, repertório e como estruturar sua redação sobre acesso à leitura no ENEM 2026.

Democracia pode cair no ENEM 2026: prepare sua redação

Com eleições em outubro e ENEM 14 dias depois, democracia é o tema mais urgente de 2026. Repertório, argumentos e proposta de intervenção prontos.

Durkheim, Marx e Weber no ENEM 2026: o que cada um defende

Durkheim, Marx e Weber respondem por boa parte das questões de Sociologia no ENEM. Saiba o conceito central de cada um e como diferenciá-los na prova.

Filosofia no ENEM 2026: os 8 filósofos que mais caem e o que estudar

Contratualismo, Filosofia Antiga e Kant dominam as questões de Filosofia em Humanas. Saiba o que o ENEM cobra de cada filósofo e como não travar no dia da prova.

Racismo estrutural no ENEM 2026: dados reais e como argumentar

77% das vítimas de homicídio no Brasil em 2024 eram negras. Aprenda a argumentar sobre racismo estrutural com dados do Atlas da Violência (IPEA) e Silvio Almeida.

Modernismo no ENEM 2026: as 3 fases e os autores essenciais

Modernismo domina as questões de literatura no ENEM. Conheça as 3 fases, os autores mais cobrados em cada uma e como interpretar excertos modernistas na prova.

Romantismo no ENEM 2026: as 3 gerações e autores essenciais

O Romantismo brasileiro tem 3 gerações com estilos opostos. Entenda quais autores caem no ENEM em cada fase e como interpretar excertos românticos.

Realismo e Naturalismo no ENEM 2026: Machado e O Cortiço

Realismo e Naturalismo dominam Linguagens no ENEM. Veja Machado de Assis, O Cortiço de Aluísio Azevedo e como resolver qualquer excerto desse período.

Poluição Informacional no ENEM 2026: deepfakes, eleições e repertório

O TSE proibiu deepfakes eleitorais em março de 2026. Entenda o que é poluição informacional, como difere de fake news e qual repertório usar na redação do ENEM.

Pré-Modernismo no ENEM 2026: Euclides, Lima Barreto e Lobato

O Pré-Modernismo vai de 1902 a 1922 e traz 4 autores que aparecem frequentemente no ENEM. Saiba quem são e o que a banca pede em cada excerto.

Barroco no ENEM 2026: Gregório de Matos e Padre Vieira

Barroco (1601–1768): os dois autores que dominam o ENEM são Gregório de Matos e Padre Vieira. Aprenda cultismo, conceptismo e como resolver qualquer excerto do período.

Parnasianismo e Simbolismo no ENEM 2026: o que cai na prova

Parnasianismo ou Simbolismo? Diferenças, autores e o que o ENEM 2026 cobra sobre Olavo Bilac, Cruz e Sousa e a poesia do fim do século XIX.

Arcadismo no ENEM 2026: Gonzaga, Basílio da Gama e o que cai

Arcadismo (1768–1836): os 4 autores, as 5 expressões latinas e o que o ENEM 2026 cobra — com foco em Marília de Dirceu, O Uraguai e a Inconfidência Mineira.

Era Vargas no ENEM 2026: fases, CLT e o que sempre cai

Getúlio Vargas ficou 15 anos no poder sem vencer eleição popular. A Era Vargas (1930–1945) é frequente no ENEM — entenda as 3 fases e o que a banca realmente cobra.

Vanguardas Europeias no ENEM 2026: Futurismo ao Surrealismo

Os 5 movimentos das Vanguardas Europeias no ENEM: Futurismo (1909) ao Surrealismo (1924), datas, artistas e a conexão com o Modernismo Brasileiro.

Quinhentismo no ENEM 2026: Pero Vaz de Caminha e Anchieta

O Quinhentismo (1500–1601) é o primeiro período literário brasileiro. O que o ENEM cobra sobre Pero Vaz de Caminha, José de Anchieta e Os Lusíadas.

Sociologia no ENEM 2026: os assuntos que mais caem na prova

228 questões de Sociologia já caíram no ENEM entre 2009 e 2024, segundo levantamento da SAS Educação. Veja os temas e pensadores mais recorrentes na prova.

Conectivos para a redação do ENEM: guia completo da Competência 4

Conectivo errado não é erro de português, é erro de lógica. Veja os conectivos por função, os 3 critérios de coesão do INEP e os erros que travam a Competência 4 em 80 pontos.

Gráficos e tabelas no ENEM: 5 pegadinhas frequentes

Gráficos e tabelas aparecem em três áreas da prova, não só em Matemática. Veja o que a Matriz do INEP cobra e as 5 pegadinhas mais comuns ao ler os dados.

Competência 2 do ENEM: tangenciamento, fuga ao tema e repertório sociocultural

Tangenciar o tema trava a nota em 40 pontos, fugir zera a redação. Veja a escala oficial da Competência 2 e os exemplos reais do ENEM 2024 usados pelo INEP.

Competência 1 do ENEM: os erros que mais derrubam a nota

A Competência 1 vale até 200 dos 1000 pontos e pune erros de português. Veja a escala oficial do INEP e os erros de norma culta que mais custam pontos.

Competência 3 da Redação do ENEM: como montar um projeto de texto

A Competência 3 vale até 200 dos 1000 pontos e avalia se sua redação tem um projeto de texto por trás. Veja a escala oficial do INEP e como organizar seus argumentos.

O que levar no dia da prova do ENEM 2026 (checklist oficial)

Checklist oficial do ENEM 2026: documentos aceitos, regra da caneta transparente, horário dos portões e itens proibidos na sala, segundo o Edital nº 64/INEP.

Cartão de Confirmação Enem 2026: quando sai o local de prova

Quando sai o local de prova do Enem 2026 e como consultar o Cartão de Confirmação na Página do Participante com login gov.br — passo a passo e prazos.

Funções no ENEM 2026: quais tipos mais caem e como estudar cada uma

Domínio e contradomínio nunca caem no Enem, mas afim, quadrática e exponencial sim. Veja quais funções mais aparecem na prova e como estudar cada uma para o Enem 2026.

ENEM: Quantas Questões Acertar para 700, 800 ou 900 Pontos

Não existe um número fixo de acertos para cada nota no Enem — a TRI pondera dificuldade, não só quantidade. Veja faixas por curso e por área, com fontes.

Estatística e Probabilidade no ENEM 2026: o que cai e como estudar

Estatística e probabilidade é um dos 4 blocos oficiais de Matemática no Enem, mas muita gente confunde com combinatória. Veja o que a matriz do INEP realmente cobra.

Segunda Guerra Mundial no Enem 2026: causas e Holocausto

A Segunda Guerra é o 7º tema de História mais cobrado no Enem, segundo o Preparaenem. Veja causas, Holocausto, ONU, Nuremberg e a ponte para a Guerra Fria.

Guerra Fria no Enem 2026: linha do tempo e o que mais cai

A Guerra Fria dividiu o mundo entre EUA e URSS de 1947 a 1991. Veja Muro de Berlim, Crise dos Mísseis, Guerra da Coreia e por que esse tema é tão cobrado no Enem.

Juros e Porcentagem no Enem 2026: Como Cai a Matemática Financeira

Porcentagem e juros estão listados na Matriz de Referência oficial do Enem. Veja fator multiplicativo, juros simples x compostos e exercícios resolvidos passo a passo.