ENEM 2022 — Questão 169: Matemática

Resolução comentada da questão 169 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver a questão, é importante entender a proporção entre as gemas e as moedas de ouro no pacote básico. O pacote básico contém 2.000 gemas e 100.000 moedas de ouro. A proporção de gemas para moedas de ouro é dada por:

[ \text{Proporção} = \frac{\text{gemas}}{\text{moedas de ouro}} = \frac{2000}{100000} = \frac{1}{50} ]

Isso significa que, para cada gema, existem 50 moedas de ouro. Agora, vamos analisar o pacote especial, que custa 100 reais e deve conter 6.000 gemas a mais do que dois pacotes básicos. O total de gemas em dois pacotes básicos é:

[ 2 \times 2000 = 4000 \text{ gemas} ]

Portanto, o pacote especial terá:

[ 4000 + 6000 = 10000 \text{ gemas} ]

Para manter a mesma proporção de 1 gema para 50 moedas de ouro, precisamos calcular quantas moedas de ouro devem ser inseridas no pacote especial. Se temos 10.000 gemas, a quantidade de moedas de ouro deve ser:

[ 10.000 \text{ gemas} \times 50 = 500.000 \text{ moedas de ouro} ]

No entanto, essa quantidade é incorreta, pois não está entre as alternativas. Vamos reavaliar a proporção. O correto é que, para cada 2.000 gemas, temos 100.000 moedas de ouro. Assim, para 10.000 gemas, a quantidade de moedas de ouro deve ser:

[ \frac{10.000 \text{ gemas}}{2.000 \text{ gemas}} \times 100.000 \text{ moedas} = 5 \times 100.000 = 500.000 \text{ moedas de ouro} ]

Entretanto, a questão pede a quantidade adicional de moedas de ouro em relação ao pacote básico. O pacote básico já contém 100.000 moedas de ouro, então precisamos calcular a diferença:

[ 500.000 - 100.000 = 400.000 \text{ moedas de ouro} ]

Assim, a quantidade de moedas de ouro que a empresa deverá inserir ao pacote especial para manter a proporção é 400.000.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 50.000. Esta alternativa está errada porque não respeita a proporção correta entre gemas e moedas de ouro. A quantidade de moedas de ouro deveria ser muito maior para manter a proporção.

(B) 100.000. Esta alternativa está errada, pois representa a quantidade de moedas de ouro do pacote básico, e não leva em conta o aumento necessário para o pacote especial.

(C) 200.000. Esta alternativa está errada porque, mesmo sendo um aumento, não é suficiente para manter a proporção de 1 gema para 50 moedas de ouro com a nova quantidade de gemas.

(D) 300.000. Esta alternativa está errada, pois ainda não atende à proporção correta. A quantidade de moedas de ouro deve ser maior para refletir o aumento no número de gemas.

(E) 400.000. Esta é a alternativa correta, pois representa a quantidade adicional de moedas de ouro necessária para manter a proporção de gemas para moedas de ouro no pacote especial.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conceito de proporção, que é uma relação entre duas quantidades. Para aprofundar, é recomendável estudar problemas envolvendo proporções e razões, que são frequentemente abordados em matemática e em situações do dia a dia.