ENEM 2022 — Questão 170: Matemática

Resolução comentada da questão 170 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre as voltas nos circuitos e a distância total percorrida. O corredor faz dois treinos, e a soma das distâncias percorridas nos dois dias nos ajudará a determinar o tamanho dos circuitos. Vamos chamar o comprimento do circuito maior de M e o comprimento do circuito menor de m.

No primeiro dia, o corredor percorre 3 voltas no circuito maior e 2 voltas no circuito menor, totalizando 1 800 metros. Isso pode ser expresso pela equação:

[ 3M + 2m = 1800 \quad (1) ]

Em seguida, ele corre mais 2 voltas no circuito maior e 1 volta no menor, totalizando 1 100 metros, que resulta na equação:

[ 2M + 1m = 1100 \quad (2) ]

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de M e m. Multiplicando a equação (2) por 2, obtemos:

[ 4M + 2m = 2200 \quad (3) ]

Subtraindo a equação (1) da equação (3):

[ (4M + 2m) - (3M + 2m) = 2200 - 1800 ]

Isso simplifica para:

[ M = 400 ]

Substituindo o valor de M na equação (1):

[ 3(400) + 2m = 1800 ]

[ 1200 + 2m = 1800 ]

[ 2m = 600 ]

[ m = 300 ]

Agora que temos os comprimentos dos circuitos (M = 400 metros e m = 300 metros), podemos calcular quantas voltas o corredor pode dar no segundo dia, percorrendo 5 000 metros. O número total de voltas, ( x ), no circuito maior e ( y ) no circuito menor, deve satisfazer a equação:

[ 400x + 300y = 5000 ]

Para maximizar o número total de voltas ( x + y ), podemos expressar ( y ) em função de ( x ):

[ 300y = 5000 - 400x ]

[ y = \frac{5000 - 400x}{300} ]

Para que ( y ) seja um número inteiro, ( 5000 - 400x ) deve ser divisível por 300. Testando valores inteiros para ( x ), encontramos que ( x = 10 ) resulta em ( y = 5 ), totalizando ( 10 + 5 = 15 ) voltas. Testando ( x = 11 ), obtemos ( y = 3 ), totalizando ( 11 + 3 = 14 ) voltas. Finalmente, ao testar ( x = 12 ), encontramos ( y = 1 ), totalizando ( 12 + 1 = 13 ) voltas. Porém, ao testar ( x = 13 ), temos ( y = 0 ), totalizando apenas 13 voltas. O máximo ocorre com ( x = 16 ) e ( y = 0 ), totalizando 16 voltas.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 10. Essa alternativa está errada porque a soma das voltas não pode ser 10, considerando que o corredor pode fazer mais voltas com a distância total disponível.

(B) 13. Embora essa soma seja possível, não é o máximo que o corredor pode alcançar. O cálculo mostra que é possível fazer 16 voltas.

(C) 14. Essa soma é inferior ao máximo de 16 voltas que o corredor pode realizar, conforme demonstrado nos cálculos.

(D) 15. Embora essa soma seja uma possibilidade, ela não é a máxima. O corredor consegue fazer 16 voltas, que é o número máximo.

(E) 16. Esta é a alternativa correta, pois é o número máximo de voltas que o corredor pode realizar ao percorrer 5 000 metros nos circuitos.

Conceito-chave para revisar

A questão explora o conceito de sistemas de equações e a maximização de variáveis inteiras. Para aprofundar, estude sistemas lineares e a aplicação de restrições em problemas de otimização, que são temas recorrentes em matemática.