ENEM 2022 — Questão 170: Matemática

Resolução comentada da questão 170 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre as voltas nos circuitos e a distância total percorrida. O corredor faz dois treinos, e a soma das distâncias percorridas nos dois dias nos ajudará a determinar o tamanho dos circuitos. Vamos chamar o comprimento do circuito maior de M e o comprimento do circuito menor de m.

No primeiro dia, o corredor percorre 3 voltas no circuito maior e 2 voltas no circuito menor, totalizando 1 800 metros. Isso pode ser expresso pela equação:

$3M + 2m = 1800 \quad (1)$

Em seguida, ele corre mais 2 voltas no circuito maior e 1 volta no menor, totalizando 1 100 metros, que resulta na equação:

$2M + 1m = 1100 \quad (2)$

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de M e m. Multiplicando a equação (2) por 2, obtemos:

$4M + 2m = 2200 \quad (3)$

Subtraindo a equação (1) da equação (3):

$(4M + 2m) - (3M + 2m) = 2200 - 1800$

Isso simplifica para:

$M = 400$

Substituindo o valor de M na equação (1):

$3(400) + 2m = 1800$

$1200 + 2m = 1800$

$2m = 600$

$m = 300$

Agora que temos os comprimentos dos circuitos (M = 400 metros e m = 300 metros), podemos calcular quantas voltas o corredor pode dar no segundo dia, percorrendo 5 000 metros. O número total de voltas, $x$, no circuito maior e $y$ no circuito menor, deve satisfazer a equação:

$400x + 300y = 5000$

Para maximizar o número total de voltas $x + y$, podemos expressar $y$ em função de $x$:

$300y = 5000 - 400x$

$y = \frac{5000 - 400x}{300}$

Para que $y$ seja um número inteiro, $5000 - 400x$ deve ser divisível por 300. Testando valores inteiros para $x$, encontramos que $x = 10$ resulta em $y = 5$, totalizando $10 + 5 = 15$ voltas. Testando $x = 11$, obtemos $y = 3$, totalizando $11 + 3 = 14$ voltas. Finalmente, ao testar $x = 12$, encontramos $y = 1$, totalizando $12 + 1 = 13$ voltas. Porém, ao testar $x = 13$, temos $y = 0$, totalizando apenas 13 voltas. O máximo ocorre com $x = 16$ e $y = 0$, totalizando 16 voltas.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 10. Essa alternativa está errada porque a soma das voltas não pode ser 10, considerando que o corredor pode fazer mais voltas com a distância total disponível.

(B) 13. Embora essa soma seja possível, não é o máximo que o corredor pode alcançar. O cálculo mostra que é possível fazer 16 voltas.

(C) 14. Essa soma é inferior ao máximo de 16 voltas que o corredor pode realizar, conforme demonstrado nos cálculos.

(D) 15. Embora essa soma seja uma possibilidade, ela não é a máxima. O corredor consegue fazer 16 voltas, que é o número máximo.

(E) 16. Esta é a alternativa correta, pois é o número máximo de voltas que o corredor pode realizar ao percorrer 5 000 metros nos circuitos.

Conceito-chave para revisar

A questão explora o conceito de sistemas de equações e a maximização de variáveis inteiras. Para aprofundar, estude sistemas lineares e a aplicação de restrições em problemas de otimização, que são temas recorrentes em matemática.