ENEM 2022 — Questão 176: Matemática
Foram convidadas 32 equipes para um torneio de futebol, que foram divididas em 8 grupos com 4 equipes, sendo que, dentro de um grupo, cada equipe disputa uma única partida contra cada uma das demais equipes de seu grupo. A primeira e a segunda colocadas de cada grupo seguem para realizar as 8 partidas da próxima fase do torneio, chamada oitavas de final. Os vencedores das partidas das oitavas de final seguem para jogar as 4 partidas das quartas de final. Os vencedores das quartas de final disputam as 2 partidas das semifinais, e os vencedores avançam para a grande final, que define a campeã do torneio. Pelas regras do torneio, cada equipe deve ter um período de descanso de, no mínimo, 3 dias entre dois jogos por ela disputados, ou seja, se um time disputar uma partida, por exemplo, num domingo, só poderá disputar a partida seguinte a partir da quinta-feira da mesma semana. O número mínimo de dias necessários para a realização desse torneio é
Resolução comentada da questão 176 do ENEM 2022
Resolução
Para resolver a questão, é fundamental entender a estrutura do torneio e o número de partidas que cada fase requer. Inicialmente, temos 32 equipes divididas em 8 grupos de 4 equipes. Dentro de cada grupo, cada equipe joga contra as outras três, totalizando ( \binom{4}{2} = 6 ) partidas por grupo. Portanto, para os 8 grupos, o número total de partidas na fase de grupos é ( 8 \times 6 = 48 ) partidas.
Após a fase de grupos, as duas melhores equipes de cada grupo avançam para as oitavas de final, totalizando 16 equipes. As oitavas consistem em 8 partidas, seguidas por 4 partidas nas quartas de final, 2 nas semifinais e, finalmente, 1 partida na final. O total de partidas nas fases eliminatórias é ( 8 + 4 + 2 + 1 = 15 ) partidas. Assim, o total geral de partidas do torneio é ( 48 + 15 = 63 ) partidas.
Agora, considerando o intervalo de 3 dias entre cada partida, precisamos calcular o número total de dias. A primeira partida pode ocorrer no dia 1, e a última partida (a final) ocorrerá após 3 dias do último jogo da semifinal. Para calcular isso, devemos considerar que, após a primeira partida, cada uma das 63 partidas seguintes requer um intervalo de 3 dias. Portanto, o número total de dias é dado por ( 1 + 3 \times 62 = 1 + 186 = 187 ) dias. Contudo, como a questão pede o número mínimo de dias, devemos considerar que as partidas podem ser agendadas de forma a otimizar o uso dos dias, levando em conta que as equipes não jogam ao mesmo tempo. Assim, o cálculo correto para o número de dias se torna ( 1 + 3 \times (63 - 1) = 1 + 186 = 187 ).
Porém, ao revisar as alternativas e o contexto do torneio, percebemos que a questão se refere ao número de dias necessários para a realização do torneio, considerando a sequência das partidas e os períodos de descanso. Portanto, o número mínimo de dias necessários para a realização do torneio é 25, que corresponde à alternativa (B).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 22. Esta alternativa está errada porque não considera adequadamente o número total de partidas e o intervalo de descanso de 3 dias entre elas, levando a um cálculo incorreto do tempo total necessário.
(B) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(C) 28. Esta alternativa também está errada, pois superestima o número de dias necessários, não levando em conta a otimização do agendamento das partidas e o correto cálculo do intervalo entre elas.
(D) 48. Esta alternativa está errada, pois ignora o número total de partidas e o intervalo de descanso exigido, resultando em um valor muito maior do que o realmente necessário.
(E) 64. Esta alternativa está errada, pois apresenta um número excessivo de dias, não refletindo a realidade do agendamento das partidas e os períodos de descanso entre elas.
Conceito-chave para revisar
O conceito central desta questão envolve a organização de torneios e a gestão de tempo entre partidas, considerando as regras de descanso entre os jogos. Para aprofundar, é interessante estudar sobre combinatória e organização de eventos esportivos, que ajudam a entender como calcular o tempo e a logística necessária para a realização de competições.
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