ENEM 2022 — Questão 168: Matemática
Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 metro do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y é igual a menos, abre parêntese, x ao quadrado dividido por 6, fecha parêntese, menos, abre parêntese, 7 vezes x dividido por 3, fecha parêntese, mais 12, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 metro do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são: • ginásio 1: 17 metros; • ginásio 2: 18 metros; • ginásio 3: 19 metros; • ginásio 4: 21 metros; • ginásio 5: 40 metros. O saque desse atleta foi invalidado
Resolução comentada da questão 168 do ENEM 2022
Resolução
Para resolver a questão, é necessário entender a trajetória da bola de voleibol, que é descrita pela função quadrática ( y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12 ). Essa função representa a altura da bola em relação ao eixo ( y ), que está posicionado a 1,5 metros do piso da quadra. O objetivo é determinar em quais ginásios a altura máxima da bola ultrapassa a altura do teto.
Primeiro, precisamos encontrar a altura máxima da trajetória da bola. Para isso, identificamos o vértice da parábola, que pode ser encontrado pela fórmula ( x_v = -\frac{b}{2a} ), onde ( a = -\frac{1}{6} ) e ( b = -\frac{7}{3} ). Calculando, temos:
[ x_v = -\frac{-\frac{7}{3}}{2 \cdot -\frac{1}{6}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = 7 ]
Substituímos ( x_v ) na função para encontrar a altura máxima:
[ y(7) = -\frac{7^2}{6} - \frac{7 \cdot 7}{3} + 12 = -\frac{49}{6} - \frac{49}{3} + 12 ]
Convertendo ( \frac{49}{3} ) para o mesmo denominador:
[ y(7) = -\frac{49}{6} - \frac{98}{6} + \frac{72}{6} = -\frac{49 + 98 - 72}{6} = -\frac{75}{6} = -12,5 ]
A altura máxima da bola é ( 12,5 ) metros em relação ao eixo ( y ), que está a 1,5 metros do piso. Portanto, a altura máxima em relação ao piso é:
[ 12,5 + 1,5 = 14 \text{ metros} ]
Agora, comparamos essa altura com as alturas dos tetos dos ginásios. A altura máxima do saque (14 metros) é maior que os tetos dos ginásios 1 (17 m), 2 (18 m), 3 (19 m) e 4 (21 m), mas não ultrapassa o teto do ginásio 5 (40 m). Assim, o saque é invalidado apenas nos ginásios 1, 2, 3 e 4.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa está errada porque o saque foi invalidado em mais de um ginásio. A altura máxima do saque (14 metros) é inferior às alturas dos tetos dos ginásios 1, 2, 3 e 4.
(B) Esta alternativa está errada, pois o saque também foi invalidado nos ginásios 3 e 4, além do ginásio 1 e 2. A altura máxima do saque é inferior às alturas desses tetos.
(C) Esta alternativa está errada, pois o saque foi invalidado nos ginásios 1, 2 e 3, mas também no ginásio 4. Portanto, não abrange todos os ginásios em que o saque foi invalidado.
(D) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(E) Esta alternativa está errada, pois o saque não foi invalidado no ginásio 5, onde a altura do teto é de 40 metros, superior à altura máxima do saque.
Conceito-chave para revisar
A questão aborda a análise de funções quadráticas e a interpretação de suas propriedades, como a determinação do vértice e a comparação de valores. Para aprofundar seus conhecimentos, estude sobre funções quadráticas, suas representações gráficas e aplicações em problemas do cotidiano.
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