ENEM 2022 - Questão 149

Question

Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, 8 000 reais e 12 000 reais.
A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse 12 240 reais. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25 por cento para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores.
Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,

Accepted Answer

D: 30,0.

## Resolução

Para resolver esta questão, é fundamental compreender o conceito de **salário médio**. O salário médio é calculado pela soma dos salários de todos os professores dividida pelo número total de professores. Neste caso, temos 60 mestres com um salário de R$ 8.000 e 40 doutores com um salário de R$ 12.000.

Primeiro, vamos calcular o salário total atual dos mestres e dos doutores. O total dos mestres é 60 * 8.000 = R$ 480.000 e o total dos doutores é 40 * 12.000 = R$ 480.000. Assim, o salário total atual da universidade é R$ 480.000 + R$ 480.000 = R$ 960.000. O número total de professores é 60 + 40 = 100. Portanto, o salário médio atual é R$ 960.000 / 100 = R$ 9.600.

Com o aumento de 25% para os mestres, o novo salário deles será 8.000 * 1,25 = R$ 10.000. O novo total dos mestres, então, será 60 * 10.000 = R$ 600.000. Para que o salário médio não ultrapasse R$ 12.240, precisamos calcular quanto os doutores podem receber. Vamos chamar o aumento percentual dos doutores de x. O novo salário dos doutores será 12.000 * (1 + x/100). O total dos doutores após o aumento será 40 * 12.000 * (1 + x/100) = 480.000 * (1 + x/100).

Agora, queremos que o novo salário médio não ultrapasse R$ 12.240. Assim, temos a seguinte equação:

$$
\frac{600.000 + 480.000(1 + x/100)}{100} \leq 12.240
$$

Multiplicando ambos os lados por 100, obtemos:

$$
600.000 + 480.000(1 + x/100) \leq 1.224.000
$$

Resolvendo a inequação, temos:

$$
480.000(1 + x/100) \leq 624.000
$$

$$
1 + x/100 \leq \frac{624.000}{480.000}
$$

$$
1 + x/100 \leq 1,3
$$

Subtraindo 1 de ambos os lados:

$$
x/100 \leq 0,3
$$

Multiplicando por 100, encontramos que x ≤ 30. Portanto, o aumento máximo que pode ser concedido aos doutores é de **30%**.

## Por que as outras alternativas estão erradas

**(A)** 14,4. Este valor é muito baixo e não considera o aumento necessário para manter o salário médio dentro do limite estipulado.

**(B)** 20,7. Embora este valor represente um aumento, ele ainda é insuficiente para que o salário médio não ultrapasse R$ 12.240, dado o aumento já aplicado aos mestres.

**(C)** 22,0. Assim como as alternativas anteriores, este percentual não é suficiente para garantir que o salário médio permaneça dentro do limite estabelecido pela universidade.

**(D)** Esta é a alternativa correta — ver acima.

**(E)** 37,5. Este percentual é excessivo e faria com que o salário médio ultrapassasse o limite de R$ 12.240, o que não é permitido pela diretoria da instituição.

## Conceito-chave para revisar

A questão aborda o conceito de **salário médio** e como calcular reajustes percentuais. Para aprofundar seus conhecimentos, é interessante revisar temas relacionados a médias e porcentagens, que são frequentemente abordados em problemas de matemática financeira.

Answer

A: 14,4.

Answer

B: 20,7.

Answer

C: 22,0.

Answer

D: 30,0.

Answer

E: 37,5.

ENEM 2022 — Questão 149: Matemática

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