ENEM 2024 — Questão 146: Matemática
Resposta: alternativa E
$3 \cdot \sqrt[3]{12}$
Para resolver a questão, é necessário calcular a capacidade da embalagem cilíndrica e, em seguida, determinar a medida da aresta do cubo que terá 80% dessa capacidade.
Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 centímetros, e altura medindo 15 centímetros. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80 por cento da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente. Use 3 como valor aproximado para pi. A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser
Resolução comentada da questão 146 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver a questão, é necessário calcular a capacidade da embalagem cilíndrica e, em seguida, determinar a medida da aresta do cubo que terá 80% dessa capacidade. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é dada por ( V = \pi r^2 h ), onde ( r ) é o raio e ( h ) é a altura. Substituindo os valores fornecidos, temos:
[ V = 3 \cdot (3^2) \cdot 15 = 3 \cdot 9 \cdot 15 = 405 \text{ cm}^3 ]
Agora, precisamos calcular 80% desse volume:
[ V_{cubo} = 0,8 \cdot 405 = 324 \text{ cm}^3 ]
A fórmula para o volume de um cubo é ( V = a^3 ), onde ( a ) é a medida da aresta. Portanto, podemos igualar o volume do cubo ao volume que calculamos:
[ a^3 = 324 ]
Para encontrar ( a ), devemos calcular a raiz cúbica de 324:
[ a = \sqrt[3]{324} ]
Podemos simplificar 324:
[ 324 = 81 \cdot 4 = 27 \cdot 12 ]
Assim, temos:
[ a = \sqrt[3]{27 \cdot 12} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{12} = 3 \cdot \sqrt[3]{12} ]
Portanto, a medida da aresta da nova embalagem em formato de cubo é ( 3 \cdot \sqrt[3]{12} ).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 6: Essa alternativa sugere que a aresta do cubo é 6 cm. Se ( a = 6 ), o volume do cubo seria ( 6^3 = 216 \text{ cm}^3 ), que é menor que 324 cm³. Portanto, está errada.
(B) 18: Aqui, a aresta do cubo é considerada 18 cm. O volume seria ( 18^3 = 5832 \text{ cm}^3 ), que é muito maior que 324 cm³. Assim, essa alternativa também está errada.
(C) ( 6 \cdot \sqrt{6} ): Essa alternativa sugere uma aresta que, ao cubo, resultaria em um volume que não corresponde a 324 cm³. O cálculo do volume seria ( (6 \cdot \sqrt{6})^3 = 216 \cdot 6\sqrt{6} ), que não é igual a 324. Portanto, está errada.
(D) ( 6 \cdot \sqrt[3]{6} ): Se considerarmos essa alternativa, o volume seria ( (6 \cdot \sqrt[3]{6})^3 = 216 \cdot 6 = 1296 \text{ cm}^3 ), que também não corresponde a 324 cm³. Portanto, está errada.
(E) ( 3 \cdot \sqrt[3]{12} ): Esta é a alternativa correta, pois, como demonstrado, a aresta do cubo deve ser ( 3 \cdot \sqrt[3]{12} ) para que o volume seja 324 cm³.
Conceito-chave para revisar
A questão explora o conceito de volume de sólidos geométricos, especificamente cilindros e cubos. Para aprofundar, é interessante revisar as fórmulas de volume de diferentes figuras e praticar problemas que envolvam conversão entre diferentes formas, como cilindros e cubos, além de trabalhar com porcentagens e simplificações de raízes cúbicas.
Quer praticar com explicações personalizadas em IA?
Nossa IA explica cada questão no seu nível e adapta o estudo ao que você mais precisa melhorar.