ENEM 2024 — Questão 146: Matemática

Resolução comentada da questão 146 do ENEM 2024

Resolução

Para resolver a questão, é necessário calcular a capacidade da embalagem cilíndrica e, em seguida, determinar a medida da aresta do cubo que terá 80% dessa capacidade. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é dada por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ é a altura. Substituindo os valores fornecidos, temos:

Agora, precisamos calcular 80% desse volume:

A fórmula para o volume de um cubo é $V = a^3$, onde $a$ é a medida da aresta. Portanto, podemos igualar o volume do cubo ao volume que calculamos:

Para encontrar $a$, devemos calcular a raiz cúbica de 324:

Podemos simplificar 324:

Assim, temos:

Portanto, a medida da aresta da nova embalagem em formato de cubo é $3 \cdot \sqrt[3]{12}$.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 6: Essa alternativa sugere que a aresta do cubo é 6 cm. Se $a = 6$, o volume do cubo seria $6^3 = 216 \text{ cm}^3$, que é menor que 324 cm³. Portanto, está errada.

(B) 18: Aqui, a aresta do cubo é considerada 18 cm. O volume seria $18^3 = 5832 \text{ cm}^3$, que é muito maior que 324 cm³. Assim, essa alternativa também está errada.

(C) $6 \cdot \sqrt{6}$: Essa alternativa sugere uma aresta que, ao cubo, resultaria em um volume que não corresponde a 324 cm³. O cálculo do volume seria $(6 \cdot \sqrt{6})^3 = 216 \cdot 6\sqrt{6}$, que não é igual a 324. Portanto, está errada.

(D) $6 \cdot \sqrt[3]{6}$: Se considerarmos essa alternativa, o volume seria $(6 \cdot \sqrt[3]{6})^3 = 216 \cdot 6 = 1296 \text{ cm}^3$, que também não corresponde a 324 cm³. Portanto, está errada.

(E) $3 \cdot \sqrt[3]{12}$: Esta é a alternativa correta, pois, como demonstrado, a aresta do cubo deve ser $3 \cdot \sqrt[3]{12}$ para que o volume seja 324 cm³.

Conceito-chave para revisar

A questão explora o conceito de volume de sólidos geométricos, especificamente cilindros e cubos. Para aprofundar, é interessante revisar as fórmulas de volume de diferentes figuras e praticar problemas que envolvam conversão entre diferentes formas, como cilindros e cubos, além de trabalhar com porcentagens e simplificações de raízes cúbicas.