ENEM 2024 — Questão 145: Matemática

Resolução comentada da questão 145 do ENEM 2024

Resolução

A questão envolve a modelagem da temperatura de um objeto em função do tempo, utilizando uma função exponencial. A forma geral da função apresentada é ( T(t) = a + 80 \cdot b^t ), onde ( a ) representa a temperatura ambiente e ( 80 \cdot b^t ) representa a variação da temperatura da caneca ao longo do tempo. Para resolver a questão, é importante entender que, quando ( t = 0 ), a temperatura ( T(0) ) deve ser igual à temperatura inicial da caneca, que é a temperatura da água fervendo, ou seja, 100 °C. Portanto, substituindo ( t = 0 ) na função, temos:

[ T(0) = a + 80 \cdot b^0 = a + 80 ]

Assim, para que ( T(0) = 100 ), temos que ( a + 80 = 100 ), o que implica que ( a = 20 ).

Agora, para determinar o valor de ( b ), é necessário observar como a temperatura se comporta ao longo do tempo. A função ( T(t) ) deve convergir para a temperatura ambiente, que é 20 °C, conforme o tempo avança. O termo ( 80 \cdot b^t ) deve tender a zero, o que significa que ( b ) deve ser um número entre 0 e 1. A questão sugere que ( b ) pode ser expresso como uma potência de 0,5. A alternativa (C) apresenta ( b = 0,5^{\frac{1}{10}} ), que é uma forma válida de representar um número entre 0 e 1, e que se ajusta ao comportamento esperado da função.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Esta alternativa sugere que ( a = 20 ) e ( b = \log(0,5) ). Embora ( a ) esteja correto, ( b ) deve ser um número entre 0 e 1, e ( \log(0,5) ) é negativo, o que não se encaixa na modelagem da temperatura.

(B) Aqui, ( a = 100 ) e ( b = 0,5 ). O valor de ( a ) está incorreto, pois a temperatura inicial deve ser 100 °C. Além disso, ( b ) não é uma potência que se ajusta ao comportamento da função.

(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) Nesta alternativa, ( a = 20 ) e ( b = \frac{40^{\frac{1}{10}}}{80} ). O valor de ( a ) está correto, mas o cálculo de ( b ) não resulta em um número entre 0 e 1, o que é necessário para a função modelar corretamente a temperatura.

(E) Aqui, ( a = 20 ) e ( b = 40 ). Embora ( a ) esteja correto, ( b ) deve ser um número entre 0 e 1, e 40 não se encaixa nesse critério, invalidando a alternativa.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o entendimento sobre funções exponenciais e como elas podem ser utilizadas para modelar fenômenos físicos, como a variação de temperatura ao longo do tempo. Para aprofundar-se, é recomendável estudar a forma geral de funções exponenciais e suas aplicações em contextos práticos, como o resfriamento e aquecimento de objetos.