ENEM 2024 — Questão 145: Matemática

Resolução comentada da questão 145 do ENEM 2024

Resolução

A questão envolve a modelagem da temperatura de um objeto em função do tempo, utilizando uma função exponencial. A forma geral da função apresentada é $T(t) = a + 80 \cdot b^t$, onde $a$ representa a temperatura ambiente e $80 \cdot b^t$ representa a variação da temperatura da caneca ao longo do tempo. Para resolver a questão, é importante entender que, quando $t = 0$, a temperatura $T(0)$ deve ser igual à temperatura inicial da caneca, que é a temperatura da água fervendo, ou seja, 100 °C. Portanto, substituindo $t = 0$ na função, temos:

$T(0) = a + 80 \cdot b^0 = a + 80$

Assim, para que $T(0) = 100$, temos que $a + 80 = 100$, o que implica que $a = 20$.

Agora, para determinar o valor de $b$, é necessário observar como a temperatura se comporta ao longo do tempo. A função $T(t)$ deve convergir para a temperatura ambiente, que é 20 °C, conforme o tempo avança. O termo $80 \cdot b^t$ deve tender a zero, o que significa que $b$ deve ser um número entre 0 e 1. A questão sugere que $b$ pode ser expresso como uma potência de 0,5. A alternativa (C) apresenta $b = 0,5^{\frac{1}{10}}$, que é uma forma válida de representar um número entre 0 e 1, e que se ajusta ao comportamento esperado da função.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Esta alternativa sugere que $a = 20$ e $b = \log(0,5)$. Embora $a$ esteja correto, $b$ deve ser um número entre 0 e 1, e $\log(0,5)$ é negativo, o que não se encaixa na modelagem da temperatura.

(B) Aqui, $a = 100$ e $b = 0,5$. O valor de $a$ está incorreto, pois a temperatura inicial deve ser 100 °C. Além disso, $b$ não é uma potência que se ajusta ao comportamento da função.

(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) Nesta alternativa, $a = 20$ e $b = \frac{40^{\frac{1}{10}}}{80}$. O valor de $a$ está correto, mas o cálculo de $b$ não resulta em um número entre 0 e 1, o que é necessário para a função modelar corretamente a temperatura.

(E) Aqui, $a = 20$ e $b = 40$. Embora $a$ esteja correto, $b$ deve ser um número entre 0 e 1, e 40 não se encaixa nesse critério, invalidando a alternativa.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o entendimento sobre funções exponenciais e como elas podem ser utilizadas para modelar fenômenos físicos, como a variação de temperatura ao longo do tempo. Para aprofundar-se, é recomendável estudar a forma geral de funções exponenciais e suas aplicações em contextos práticos, como o resfriamento e aquecimento de objetos.