ENEM 2024 — Questão 137: Matemática
Resposta: alternativa E
5
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a área de cobertura de um sensor de presença que opera em um setor circular.
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo alfa, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo alfa ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: •tipo 1: alfa é igual a 15 graus e R é igual a 20 metros; •tipo 2: alfa é igual a 30 graus e R é igual a 22 metros; •tipo 3: alfa é igual a 40 graus e R é igual a 12 metros; •tipo 4: alfa é igual a 60 graus e R é igual a 16 metros; •tipo 5: alfa é igual a 90 graus e R é igual a 10 metros. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 metros quadrados, com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para pi. O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
Resolução comentada da questão 137 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a área de cobertura de um sensor de presença que opera em um setor circular. A área ( A ) de um setor circular pode ser calculada pela fórmula:
[ A = \frac{\alpha}{360} \times \pi R^2 ]
onde ( \alpha ) é o ângulo do setor em graus e ( R ) é o raio. O problema pede que a área de cobertura seja, no mínimo, 70 metros quadrados. Para cada tipo de sensor, vamos aplicar essa fórmula e verificar qual deles atende a essa condição.
Usando ( \pi \approx 3 ), podemos calcular a área para cada tipo de sensor:
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Tipo 1: ( \alpha = 15 ) graus, ( R = 20 ) metros [ A_1 = \frac{15}{360} \times 3 \times (20^2) = \frac{15}{360} \times 3 \times 400 = 25 \text{ m}^2 ]
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Tipo 2: ( \alpha = 30 ) graus, ( R = 22 ) metros [ A_2 = \frac{30}{360} \times 3 \times (22^2) = \frac{30}{360} \times 3 \times 484 \approx 40.5 \text{ m}^2 ]
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Tipo 3: ( \alpha = 40 ) graus, ( R = 12 ) metros [ A_3 = \frac{40}{360} \times 3 \times (12^2) = \frac{40}{360} \times 3 \times 144 \approx 60 \text{ m}^2 ]
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Tipo 4: ( \alpha = 60 ) graus, ( R = 16 ) metros [ A_4 = \frac{60}{360} \times 3 \times (16^2) = \frac{60}{360} \times 3 \times 256 \approx 128 \text{ m}^2 ]
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Tipo 5: ( \alpha = 90 ) graus, ( R = 10 ) metros [ A_5 = \frac{90}{360} \times 3 \times (10^2) = \frac{90}{360} \times 3 \times 100 = 75 \text{ m}^2 ]
Dentre os sensores, apenas o Tipo 4 e o Tipo 5 atingem ou superam a área mínima de 70 m². O Tipo 5, com uma área de 75 m², é o menor em termos de área coberta que ainda atende ao requisito, portanto, é a melhor escolha.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa está errada porque o Tipo 1 cobre apenas 25 m², que está muito abaixo do mínimo exigido de 70 m².
(B) O Tipo 2 cobre 40.5 m², que também não atende à necessidade mínima de 70 m², tornando essa alternativa incorreta.
(C) O Tipo 3, com 60 m², ainda está abaixo do mínimo requerido. Portanto, essa opção não é válida.
(D) Embora o Tipo 4 cubra 128 m², que é suficiente, ele não é a opção mais econômica, pois o Tipo 5 cobre 75 m², que é suficiente e possui uma área menor.
(E) Esta é a alternativa correta, pois o Tipo 5 cobre 75 m², que é maior que 70 m² e é a opção mais econômica em relação à área coberta.
Conceito-chave para revisar
A questão explora o conceito de setor circular e o cálculo da área de um círculo. Para aprofundar-se, é recomendável revisar a fórmula da área de um círculo e a relação entre ângulo e área em setores circulares, além de exercícios práticos sobre o tema.
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