ENEM 2024 - Questão 137

Question

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo alfa, em grau, e do raio R, em metro.

Ao aumentar o ângulo alfa ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: •tipo 1: alfa é igual a 15 graus e R é igual a 20 metros; •tipo 2: alfa é igual a 30 graus e R é igual a 22 metros; •tipo 3: alfa é igual a 40 graus e R é igual a 12 metros; •tipo 4: alfa é igual a 60 graus e R é igual a 16 metros; •tipo 5: alfa é igual a 90 graus e R é igual a 10 metros. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 metros quadrados, com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para pi. O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

Accepted Answer

E: 5

Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a área de cobertura de um sensor de presença que opera em um setor circular. A área $ A $ de um setor circular pode ser calculada pela fórmula: $$ A = \frac{\alpha}{360} \times \pi R^2 $$ onde $ \alpha $ é o ângulo do setor em graus e $ R $ é o raio. O problema pede que a área de cobertura seja, no mínimo, 70 metros quadrados. Para cada tipo de sensor, vamos aplicar essa fórmula e verificar qual deles atende a essa condição. Usando $ \pi \approx 3 $, podemos calcular a área para cada tipo de sensor: - Tipo 1: $ \alpha = 15 $ graus, $ R = 20 $ metros $$ A_1 = \frac{15}{360} \times 3 \times (20^2) = \frac{15}{360} \times 3 \times 400 = 25 \text{ m}^2 $$ - Tipo 2: $ \alpha = 30 $ graus, $ R = 22 $ metros $$ A_2 = \frac{30}{360} \times 3 \times (22^2) = \frac{30}{360} \times 3 \times 484 \approx 40.5 \text{ m}^2 $$ - Tipo 3: $ \alpha = 40 $ graus, $ R = 12 $ metros $$ A_3 = \frac{40}{360} \times 3 \times (12^2) = \frac{40}{360} \times 3 \times 144 \approx 60 \text{ m}^2 $$ - Tipo 4: $ \alpha = 60 $ graus, $ R = 16 $ metros $$ A_4 = \frac{60}{360} \times 3 \times (16^2) = \frac{60}{360} \times 3 \times 256 \approx 128 \text{ m}^2 $$ - Tipo 5: $ \alpha = 90 $ graus, $ R = 10 $ metros $$ A_5 = \frac{90}{360} \times 3 \times (10^2) = \frac{90}{360} \times 3 \times 100 = 75 \text{ m}^2 $$ Dentre os sensores, apenas o Tipo 4 e o Tipo 5 atingem ou superam a área mínima de 70 m². O Tipo 5, com uma área de 75 m², é o menor em termos de área coberta que ainda atende ao requisito, portanto, é a melhor escolha. A questão explora o conceito de setor circular e o cálculo da área de um círculo.

Answer

A: 1

Answer

B: 2

Answer

C: 3

Answer

D: 4

Answer

E: 5

ENEM 2024 — Questão 137: Matemática

Resposta: alternativa E

Resolução

Por que as outras alternativas estão erradas

Conceito-chave para revisar

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