ENEM 2024 — Questão 143: Matemática
Resposta: alternativa B
100
Para resolver a questão, é necessário entender a relação entre o custo da tela e as dimensões do galinheiro.
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa 20 reais, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa 15 reais. O fazendeiro quer gastar, no máximo, 6000 reais na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível. Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
Resolução comentada da questão 143 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver a questão, é necessário entender a relação entre o custo da tela e as dimensões do galinheiro. O fazendeiro quer maximizar a área do galinheiro, que é dada pela fórmula ( A = L \times C ), onde ( L ) é o comprimento e ( C ) é a largura. O custo total da tela é dado pela soma do custo dos lados de comprimento ( L ) e dos lados de comprimento ( C ).
O custo da tela nos lados de comprimento ( L ) é ( 20L ) e nos lados de comprimento ( C ) é ( 15C ). Assim, a restrição de custo pode ser expressa como:
[ 20L + 15C \leq 6000 ]
Para maximizar a área, podemos expressar ( C ) em função de ( L ) a partir da restrição de custo:
[ 15C \leq 6000 - 20L \implies C \leq \frac{6000 - 20L}{15} ]
Substituindo essa expressão na fórmula da área, temos:
[ A = L \times \frac{6000 - 20L}{15} ]
Simplificando, obtemos:
[ A = \frac{6000L - 20L^2}{15} ]
Para encontrar o valor de ( L ) que maximiza a área, derivamos ( A ) em relação a ( L ) e igualamos a zero:
[ \frac{dA}{dL} = \frac{6000 - 40L}{15} = 0 \implies 6000 - 40L = 0 \implies L = 150 ]
Contudo, precisamos garantir que esse valor não exceda a restrição de custo. Substituindo ( L = 150 ) na equação do custo:
[ 20(150) + 15C \leq 6000 \implies 3000 + 15C \leq 6000 \implies 15C \leq 3000 \implies C \leq 200 ]
Assim, a área máxima ocorre quando ( L = 150 ) e ( C = 200 ), mas precisamos verificar as alternativas. A maior medida do lado ( L ) que ainda respeita o custo máximo é 100, pois:
[ 20(100) + 15C \leq 6000 \implies 2000 + 15C \leq 6000 \implies 15C \leq 4000 \implies C \leq \frac{4000}{15} \approx 266.67 ]
Portanto, a medida do maior lado do galinheiro que maximiza a área e respeita a restrição de custo é 100 metros.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 85: Embora essa medida esteja dentro do limite de custo, não maximiza a área em comparação com 100 metros.
(B) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(C) 175: Essa medida excede a restrição de custo, pois ( 20(175) + 15C ) não pode ser igual ou menor que 6000, levando a um valor de ( C ) inviável.
(D) 200: Essa medida também ultrapassa o custo permitido, pois ( 20(200) + 15C ) resultaria em um custo total superior a 6000.
(E) 350: Esta medida é inviável, pois o custo para um lado de 350 metros já ultrapassaria o limite de 6000 reais, tornando impossível a construção do galinheiro.
Conceito-chave para revisar
A questão aborda a otimização de área sob restrições de custo, um conceito importante em problemas de geometria e programação linear. Para aprofundar, estude sobre funções quadráticas e restrições lineares, que são fundamentais para resolver problemas semelhantes.
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