ENEM 2024 — Questão 143: Matemática

Resolução comentada da questão 143 do ENEM 2024

Resolução

Para resolver a questão, é necessário entender a relação entre o custo da tela e as dimensões do galinheiro. O fazendeiro quer maximizar a área do galinheiro, que é dada pela fórmula $A = L \times C$, onde $L$ é o comprimento e $C$ é a largura. O custo total da tela é dado pela soma do custo dos lados de comprimento $L$ e dos lados de comprimento $C$.

O custo da tela nos lados de comprimento $L$ é $20L$ e nos lados de comprimento $C$ é $15C$. Assim, a restrição de custo pode ser expressa como:

Para maximizar a área, podemos expressar $C$ em função de $L$ a partir da restrição de custo:

Substituindo essa expressão na fórmula da área, temos:

Simplificando, obtemos:

Para encontrar o valor de $L$ que maximiza a área, derivamos $A$ em relação a $L$ e igualamos a zero:

Contudo, precisamos garantir que esse valor não exceda a restrição de custo. Substituindo $L = 150$ na equação do custo:

Assim, a área máxima ocorre quando $L = 150$ e $C = 200$, mas precisamos verificar as alternativas. A maior medida do lado $L$ que ainda respeita o custo máximo é 100, pois:

Portanto, a medida do maior lado do galinheiro que maximiza a área e respeita a restrição de custo é 100 metros.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 85: Embora essa medida esteja dentro do limite de custo, não maximiza a área em comparação com 100 metros.

(B) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(C) 175: Essa medida excede a restrição de custo, pois $20(175) + 15C$ não pode ser igual ou menor que 6000, levando a um valor de $C$ inviável.

(D) 200: Essa medida também ultrapassa o custo permitido, pois $20(200) + 15C$ resultaria em um custo total superior a 6000.

(E) 350: Esta medida é inviável, pois o custo para um lado de 350 metros já ultrapassaria o limite de 6000 reais, tornando impossível a construção do galinheiro.

Conceito-chave para revisar

A questão aborda a otimização de área sob restrições de custo, um conceito importante em problemas de geometria e programação linear. Para aprofundar, estude sobre funções quadráticas e restrições lineares, que são fundamentais para resolver problemas semelhantes.