ENEM 2024 — Questão 179: Matemática
Resposta: alternativa C
5 e 6.
Para resolver essa questão, é importante entender a configuração geométrica proposta.
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 quilômetros entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P índice 1, P índice 2 e P índice 3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Resolução comentada da questão 179 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver essa questão, é importante entender a configuração geométrica proposta. Os três postos de saúde devem ser construídos em locais equidistantes entre si e também devem ter a mesma distância em relação ao hospital. Essa configuração sugere que os postos de saúde formam um triângulo equilátero, onde todos os lados são iguais e todos os ângulos são iguais a 60 graus.
Sabendo que a distância entre cada um dos postos de saúde é de 10 quilômetros, podemos aplicar o conceito de triângulo equilátero para determinar a distância entre o hospital e cada um dos postos. A distância do hospital até cada posto de saúde pode ser encontrada utilizando a fórmula que relaciona o lado do triângulo equilátero (neste caso, 10 km) com a distância do centro do triângulo (que seria o hospital) até um dos vértices (os postos de saúde). Essa distância é dada por ( \frac{l}{\sqrt{3}} ), onde ( l ) é o comprimento do lado do triângulo.
Assim, a distância do hospital até cada posto de saúde pode ser calculada como ( \frac{10}{\sqrt{3}} ), que é aproximadamente 5,77 km. Portanto, a distância entre o hospital e cada um dos postos de saúde está entre 5 e 6 quilômetros.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa está errada porque a distância entre o hospital e os postos de saúde, calculada como aproximadamente 5,77 km, não se encaixa no intervalo de 2 a 3 km.
(B) Esta alternativa também está errada, pois a distância de 5,77 km não se encontra entre 4 e 5 km. O valor é superior a 5 km.
(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(D) A alternativa está errada, pois a distância de 5,77 km é inferior a 7 km, não se encaixando no intervalo de 7 a 8 km.
(E) Esta alternativa está errada, uma vez que a distância de 5,77 km é muito menor do que 8 km, portanto não se encontra entre 8 e 9 km.
Conceito-chave para revisar
A questão explora o conceito de triângulos equiláteros e as propriedades de distâncias em um plano. Para aprofundar, estude sobre triângulos, suas características e a relação entre os lados e as alturas, além de como calcular distâncias em um plano cartesiano.
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