MatemáticaMatemáticaGeometria Espacial

ENEM 2024 — Questão 165: Matemática

Resposta: alternativa D

1000π\frac{1000}{\pi}

Para resolver a questão, é fundamental entender o conceito de volume de um cilindro.

Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 centímetros por 20 centímetros. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.

Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a

Imagem 1 da questão 165 do ENEM 2024

Resolução comentada da questão 165 do ENEM 2024

Resolução

Para resolver a questão, é fundamental entender o conceito de volume de um cilindro. O volume VV de um cilindro circular reto é dado pela fórmula:

V=πr2hV = \pi r^2 h

onde rr é o raio da base e hh é a altura do cilindro. No caso apresentado, a indústria tem folhas de alumínio retangulares com dimensões de 10 cm por 20 cm. Essas dimensões podem ser utilizadas de duas maneiras: como altura ou como circunferência da base do cilindro.

Primeiro, vamos considerar a folha de 20 cm como a altura hh. Assim, a circunferência da base do cilindro será de 10 cm. A relação entre a circunferência CC e o raio rr é dada por:

C=2πr  ⟹  r=C2π=102π=5πC = 2\pi r \implies r = \frac{C}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}

Substituindo rr e hh na fórmula do volume, temos:

V=π(5π)2⋅20=π⋅25π2⋅20=500πV = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20 = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 20 = \frac{500}{\pi}

Agora, vamos considerar a folha de 10 cm como altura hh. A circunferência da base será de 20 cm, e o raio será:

r=202π=10πr = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}

Substituindo novamente na fórmula do volume:

V=π(10π)2⋅10=π⋅100π2⋅10=1000πV = \pi \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10 = \pi \cdot \frac{100}{\pi^2} \cdot 10 = \frac{1000}{\pi}

Comparando os volumes obtidos, a embalagem que utiliza 10 cm como altura e 20 cm como circunferência da base possui o maior volume, que é 1000π\frac{1000}{\pi}.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 4000π4000\pi está errada porque o volume calculado não chega a esse valor. O máximo volume encontrado foi 1000π\frac{1000}{\pi}, que é muito menor que 4000π4000\pi.

(B) 2000π2000\pi também está errada. Assim como na alternativa anterior, o volume máximo não atinge esse valor. O cálculo correto resultou em 1000π\frac{1000}{\pi}.

(C) 4000π\frac{4000}{\pi} está errada porque, ao calcular os volumes, não encontramos nenhum que se aproximasse desse valor. O volume máximo foi 1000π\frac{1000}{\pi}.

(D) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(E) 500π\frac{500}{\pi} está errada, pois representa o volume da embalagem que utiliza 20 cm como altura, que é menor do que o volume máximo encontrado de 1000π\frac{1000}{\pi}.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conhecimento sobre o volume de cilindros e a relação entre as dimensões de uma base circular e a altura. Para aprofundar-se, é recomendável revisar a fórmula do volume de cilindros e a conversão entre circunferência e raio, além de praticar problemas que envolvam a manipulação de dimensões em contextos práticos.

Quer praticar com explicações personalizadas em IA?

Nossa IA explica cada questão no seu nível e adapta o estudo ao que você mais precisa melhorar.

Comece grátis →
Questão 164Questão 166

Mais questões de Matemática do ENEM 2024

Ver todas as questões do ENEM 2024