ENEM 2024 — Questão 165: Matemática
Resposta: alternativa D
$\frac{1000}{\pi}$
Para resolver a questão, é fundamental entender o conceito de volume de um cilindro.
Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 centímetros por 20 centímetros. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
Resolução comentada da questão 165 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver a questão, é fundamental entender o conceito de volume de um cilindro. O volume ( V ) de um cilindro circular reto é dado pela fórmula:
[ V = \pi r^2 h ]
onde ( r ) é o raio da base e ( h ) é a altura do cilindro. No caso apresentado, a indústria tem folhas de alumínio retangulares com dimensões de 10 cm por 20 cm. Essas dimensões podem ser utilizadas de duas maneiras: como altura ou como circunferência da base do cilindro.
Primeiro, vamos considerar a folha de 20 cm como a altura ( h ). Assim, a circunferência da base do cilindro será de 10 cm. A relação entre a circunferência ( C ) e o raio ( r ) é dada por:
[ C = 2\pi r \implies r = \frac{C}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} ]
Substituindo ( r ) e ( h ) na fórmula do volume, temos:
[ V = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20 = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 20 = \frac{500}{\pi} ]
Agora, vamos considerar a folha de 10 cm como altura ( h ). A circunferência da base será de 20 cm, e o raio será:
[ r = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} ]
Substituindo novamente na fórmula do volume:
[ V = \pi \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10 = \pi \cdot \frac{100}{\pi^2} \cdot 10 = \frac{1000}{\pi} ]
Comparando os volumes obtidos, a embalagem que utiliza 10 cm como altura e 20 cm como circunferência da base possui o maior volume, que é ( \frac{1000}{\pi} ).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) ( 4000\pi ) está errada porque o volume calculado não chega a esse valor. O máximo volume encontrado foi ( \frac{1000}{\pi} ), que é muito menor que ( 4000\pi ).
(B) ( 2000\pi ) também está errada. Assim como na alternativa anterior, o volume máximo não atinge esse valor. O cálculo correto resultou em ( \frac{1000}{\pi} ).
(C) ( \frac{4000}{\pi} ) está errada porque, ao calcular os volumes, não encontramos nenhum que se aproximasse desse valor. O volume máximo foi ( \frac{1000}{\pi} ).
(D) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(E) ( \frac{500}{\pi} ) está errada, pois representa o volume da embalagem que utiliza 20 cm como altura, que é menor do que o volume máximo encontrado de ( \frac{1000}{\pi} ).
Conceito-chave para revisar
A questão testa o conhecimento sobre o volume de cilindros e a relação entre as dimensões de uma base circular e a altura. Para aprofundar-se, é recomendável revisar a fórmula do volume de cilindros e a conversão entre circunferência e raio, além de praticar problemas que envolvam a manipulação de dimensões em contextos práticos.
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