ENEM 2024 — Questão 171: Matemática
Resposta: alternativa E
vinte e quatro vinte e cinco avos vezes vinte e três vinte e quatro avos vezes um vinte e três avos
A questão envolve a probabilidade de descobrir o padrão de uma Cifra de César em uma sequência de tentativas.
A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas. Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes. A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
Resolução comentada da questão 171 do ENEM 2024
Resolução
A questão envolve a probabilidade de descobrir o padrão de uma Cifra de César em uma sequência de tentativas. A Cifra de César tem 25 possíveis padrões de substituição, pois, ao codificar uma letra, a última letra do alfabeto (Z) não pode ser substituída por uma letra que não existe (A). Portanto, as letras A a Y podem ser substituídas por 25 padrões diferentes.
Para que o padrão seja descoberto na terceira tentativa, é necessário que as duas primeiras tentativas sejam frustradas. Isso significa que nas duas primeiras tentativas, o estudante deve escolher padrões que não são corretos. A probabilidade de escolher um padrão errado na primeira tentativa é de 24/25, já que há 24 padrões errados. Na segunda tentativa, a probabilidade de escolher um padrão errado novamente é de 23/24, pois um padrão já foi eliminado. Finalmente, na terceira tentativa, a probabilidade de escolher o padrão correto é de 1/23, pois restou apenas um padrão correto entre os 23 restantes.
Assim, a probabilidade total de descobrir o padrão na terceira tentativa é dada pela multiplicação dessas probabilidades:
[ P = \left(\frac{24}{25}\right) \times \left(\frac{23}{24}\right) \times \left(\frac{1}{23}\right) ]
Ao simplificar essa expressão, percebe-se que os fatores 24 e 23 se cancelam, resultando na probabilidade correta.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa sugere que a probabilidade de descobrir o padrão na terceira tentativa é a soma de frações, o que não é correto. A probabilidade deve ser calculada como um produto de probabilidades, não como uma soma.
(B) Aqui, a alternativa apresenta uma combinação de frações que não reflete a lógica da probabilidade sequencial. A soma de frações não se aplica ao contexto de tentativas sucessivas, onde a ordem e a eliminação de opções são essenciais.
(C) Esta alternativa apresenta um produto de frações, mas a forma como as frações estão dispostas não corresponde à sequência correta de tentativas. A probabilidade deve considerar a eliminação de padrões errados antes de chegar ao correto.
(D) Embora esta alternativa também utilize um produto de frações, a disposição dos números não reflete a sequência correta de tentativas. A ordem das frações é crucial para a correta representação da probabilidade.
(E) Esta é a alternativa correta, pois apresenta a sequência correta de probabilidades para as tentativas frustradas e a tentativa bem-sucedida, refletindo a lógica da Cifra de César.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o conceito de probabilidade em eventos sequenciais, onde a escolha de um evento afeta as opções disponíveis nos eventos subsequentes. Para aprofundar-se, estude a teoria das probabilidades, especialmente a probabilidade condicional e a multiplicação de eventos independentes e dependentes.
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