ENEM 2024 — Questão 172: Matemática
Resposta: alternativa C
7,6.
Para resolver a questão, é fundamental entender a relação entre a magnitude dos terremotos e a energia liberada.
Em uma região com grande incidência de terremotos, observou-se que dois terremotos ocorridos apresentaram magnitudes M índice 1 e M índice 2, medidos segundo a escala Richter, e liberaram energias iguais a E índice 1 e E índice 2, respectivamente. Entre os estudiosos do assunto, é conhecida uma expressão algébrica relacionando esses valores dada por M índice 2 menos M índice 1 é igual a dois terços vezes logaritmo de abre parêntese, fração, numerador E índice 2, denominador E índice 1, fecha parêntese. Estudos mais abrangentes observaram que o primeiro terremoto apresentou a magnitude M índice 1 é igual a 6,9 e a energia liberada foi um décimo da observada no segundo terremoto. O valor aproximado da magnitude M índice 2 do segundo terremoto, expresso com uma casa decimal, é igual a
Resolução comentada da questão 172 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver a questão, é fundamental entender a relação entre a magnitude dos terremotos e a energia liberada. A fórmula apresentada no enunciado é:
[ M_2 - M_1 = \frac{2}{3} \log\left(\frac{E_2}{E_1}\right) ]
onde ( M_1 ) e ( M_2 ) são as magnitudes dos terremotos e ( E_1 ) e ( E_2 ) são as energias liberadas. O enunciado informa que ( M_1 = 6,9 ) e que a energia do primeiro terremoto ( E_1 ) é um décimo da energia do segundo terremoto, ou seja, ( E_1 = \frac{1}{10} E_2 ). Portanto, podemos substituir ( E_2 ) por ( 10E_1 ) na fórmula.
Substituindo na equação, temos:
[ M_2 - 6,9 = \frac{2}{3} \log\left(\frac{E_2}{E_1}\right) = \frac{2}{3} \log\left(\frac{10E_1}{E_1}\right) = \frac{2}{3} \log(10) ]
Sabemos que ( \log(10) = 1 ), então:
[ M_2 - 6,9 = \frac{2}{3} \cdot 1 ] [ M_2 - 6,9 = \frac{2}{3} ]
Agora, somamos ( 6,9 ) aos dois lados da equação:
[ M_2 = 6,9 + \frac{2}{3} ]
Convertendo ( \frac{2}{3} ) para decimal, temos aproximadamente ( 0,67 ). Portanto:
[ M_2 \approx 6,9 + 0,67 = 7,57 ]
Arredondando para uma casa decimal, obtemos ( M_2 \approx 7,6 ).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 5,4. Esta alternativa está errada porque a magnitude calculada foi significativamente maior que 5,4. O valor correto, conforme a resolução, é 7,6.
(B) 6,2. Esta opção também está incorreta, pois 6,2 é menor que a magnitude do primeiro terremoto (6,9) e não corresponde ao cálculo realizado.
(C) 7,6. Esta é a alternativa correta — ver acima.
(D) 8,2. A magnitude 8,2 está errada, pois excede o valor calculado de 7,6. A relação entre magnitudes e energias não sustenta esse valor.
(E) 8,4. Assim como a alternativa D, 8,4 é um valor muito alto em comparação com o resultado obtido. A magnitude correta é 7,6, e não há justificativa para um valor tão elevado.
Conceito-chave para revisar
A questão testa a relação entre a magnitude de terremotos e a energia liberada, conforme a escala Richter. Essa relação é logarítmica, o que significa que um aumento de 1 na magnitude corresponde a um aumento de aproximadamente 31,6 vezes na energia liberada. Para aprofundar, consulte materiais sobre a escala Richter e a física dos terremotos.
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