ENEM 2024 — Questão 164: Matemática
Resposta: alternativa E
$\left(\frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{6!}{1! \cdot 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{6!}{0! \cdot 6!}\right)$
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular o número de maneiras de formar uma equipe de médicos com restrições específicas.
Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas. A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
Resolução comentada da questão 164 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular o número de maneiras de formar uma equipe de médicos com restrições específicas. Temos 7 cardiologistas e 6 neurologistas, e a equipe deve ter 5 médicos, sendo que pelo menos 3 deles devem ser cardiologistas. Portanto, as combinações possíveis de cardiologistas e neurologistas são:
- 3 cardiologistas e 2 neurologistas
- 4 cardiologistas e 1 neurologista
- 5 cardiologistas e 0 neurologistas
Para cada uma dessas combinações, utilizamos a fórmula de combinação, que é dada por (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}), onde (n) é o total de elementos disponíveis e (k) é o número de elementos a serem escolhidos.
-
Para 3 cardiologistas e 2 neurologistas: [ C(7, 3) \cdot C(6, 2) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 4!} ]
-
Para 4 cardiologistas e 1 neurologista: [ C(7, 4) \cdot C(6, 1) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{6!}{1! \cdot 5!} ]
-
Para 5 cardiologistas e 0 neurologistas: [ C(7, 5) \cdot C(6, 0) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{6!}{0! \cdot 6!} ]
Agora, somamos todas essas combinações para obter o número total de maneiras de formar a equipe: [ \left(\frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot \frac{6!}{1! \cdot 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{6!}{0! \cdot 6!}\right) ] Portanto, a expressão que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é a alternativa (E).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa está errada porque não considera a combinação correta de neurologistas. Ela apenas multiplica as combinações de cardiologistas e neurologistas sem respeitar as restrições de quantidade.
(B) Esta alternativa está errada porque, embora utilize a fórmula de combinação, não soma as diferentes possibilidades de formação da equipe. Ela apenas apresenta uma combinação específica, sem considerar as outras.
(C) Esta alternativa está errada porque apresenta uma soma de combinações, mas não está estruturada corretamente para representar as diferentes formações de equipe. As combinações não estão organizadas de acordo com as restrições de quantidade de cardiologistas e neurologistas.
(D) Esta alternativa está errada porque combinações de diferentes grupos de médicos de forma inadequada, resultando em uma expressão muito complexa que não representa corretamente as restrições da questão.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o conceito de combinação, que é fundamental em problemas de contagem em matemática. Combinações são usadas quando a ordem não importa, e a fórmula para calcular combinações é (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}). Para aprofundar, consulte materiais sobre combinatória e teoria dos conjuntos.
Quer praticar com explicações personalizadas em IA?
Nossa IA explica cada questão no seu nível e adapta o estudo ao que você mais precisa melhorar.