ENEM 2024 — Questão 156: Matemática

Resolução comentada da questão 156 do ENEM 2024

Resolução

Para resolver a questão, é necessário entender como o funcionário pode formar sua senha de 5 caracteres, que deve conter 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes. O enunciado informa que o funcionário pode escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0. Vamos analisar as opções disponíveis.

Primeiro, temos 5 algarismos: 1, 2, 5, 7 e 0. Para escolher 2 algarismos distintos, utilizamos a combinação, que é dada por ( C(n, k) ), onde ( n ) é o total de elementos e ( k ) é o número de elementos a serem escolhidos. Assim, temos ( C(5, 2) ) para escolher 2 algarismos. O cálculo é:

[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. ]

Após escolher os 2 algarismos, precisamos considerar a ordem em que eles aparecem na senha. Como temos 2 algarismos, eles podem ser organizados de ( 2! ) maneiras, ou seja, ( 2! = 2 ). Portanto, o total de maneiras de escolher e organizar os algarismos é:

[ 10 \times 2 = 20. ]

Agora, vamos escolher as 3 letras diferentes. As letras disponíveis são A, B e C, que correspondem ao número 2. Assim, temos apenas 3 letras para escolher, e precisamos usar todas elas. A única maneira de organizá-las é ( 3! ), que é:

[ 3! = 6. ]

Agora, juntando tudo, temos o total de combinações possíveis para a senha:

[ 20 \text{ (para os algarismos)} \times 6 \text{ (para as letras)} = 120. ]

Porém, a senha deve ter 5 caracteres, e a ordem dos algarismos e letras deve ser respeitada. Assim, temos que multiplicar o total de combinações por ( 5! ) (o número total de maneiras de organizar 5 caracteres):

[ 120 \times 5! = 120 \times 120 = 14400. ]

Portanto, o número total de possibilidades diferentes que o funcionário tem para cadastrar sua senha é 14400.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 11520. Este valor não considera corretamente a combinação e a permutação dos algarismos e letras, resultando em um cálculo incorreto.

(B) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(C) 18000. Este valor pode ter surgido de um erro na contagem das permutações ou combinações, não respeitando a ordem correta dos caracteres.

(D) 312000. Este número é excessivamente alto e provavelmente resulta de um erro na multiplicação das permutações, considerando mais caracteres do que os disponíveis.

(E) 390000. Este valor também é muito alto e não reflete a quantidade correta de combinações e permutações possíveis, indicando um erro na aplicação das fórmulas.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conceito de combinações e permutações em problemas de contagem. Para aprofundar, revise os princípios de contagem, especialmente como calcular combinações ( C(n, k) ) e permutações ( n! ). Esses conceitos são fundamentais em problemas de probabilidade e combinatória.