ENEM 2024 — Questão 174: Matemática
Resposta: alternativa B
3,00.
Para resolver essa questão, precisamos entender a probabilidade de um ônibus encontrar os semáforos vermelhos.
Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório. O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo quinze sessenta avos. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a quatro centésimos, considerando os eventos independentes. Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de
Resolução comentada da questão 174 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos entender a probabilidade de um ônibus encontrar os semáforos vermelhos. Inicialmente, cada semáforo fica vermelho por 15 segundos em um ciclo de 60 segundos. Assim, a probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho é dada por:
[ P(Vermelho) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ]
Como os eventos são independentes, a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os semáforos vermelhos é o produto das probabilidades individuais:
[ P(Vermelho , 1 , e , Vermelho , 2) = P(Vermelho) \times P(Vermelho) = \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} ]
O engenheiro deseja que essa probabilidade seja igual a ( \frac{4}{100} = \frac{1}{25} ). Para isso, devemos ajustar o tempo em que cada semáforo ficará vermelho. Se chamarmos a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho de ( x ), o novo tempo em que cada semáforo ficará vermelho será ( 15 - x ) segundos. O novo ciclo total será de 60 segundos, então a nova probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho se torna:
[ P(Vermelho) = \frac{15 - x}{60} ]
A probabilidade de encontrar ambos os semáforos vermelhos agora é:
[ P(Vermelho , 1 , e , Vermelho , 2) = \left(\frac{15 - x}{60}\right) \times \left(\frac{15 - x}{60}\right) = \left(\frac{15 - x}{60}\right)^2 ]
Igualando essa expressão a ( \frac{1}{25} ):
[ \left(\frac{15 - x}{60}\right)^2 = \frac{1}{25} ]
Resolvendo a equação, temos:
[ \frac{15 - x}{60} = \frac{1}{5} ]
Multiplicando ambos os lados por 60:
[ 15 - x = 12 ]
Assim, isolando ( x ):
[ x = 15 - 12 = 3 ]
Portanto, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho é de 3 segundos.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 1,35. Essa alternativa está incorreta porque a redução de 1,35 segundos não resulta na probabilidade desejada de ( \frac{1}{25} ).
(B) 3,00. Esta é a alternativa correta — ver acima.
(C) 9,00. Essa opção está errada, pois uma redução de 9 segundos resultaria em um tempo de 6 segundos para o sinal vermelho, o que aumentaria a probabilidade de encontrar o semáforo vermelho, não a diminuiria para ( \frac{1}{25} ).
(D) 12,60. Uma redução de 12,60 segundos resultaria em um sinal vermelho por apenas 2,40 segundos, o que tornaria a probabilidade de encontrar o semáforo vermelho muito baixa, não atingindo o valor desejado.
(E) 13,80. Essa alternativa é errada porque uma redução de 13,80 segundos deixaria o semáforo vermelho por apenas 1,20 segundos, o que não atende à condição de probabilidade estabelecida.
Conceito-chave para revisar
A questão aborda o conceito de probabilidade e como ela se aplica a eventos independentes. Para aprofundar-se, é recomendável estudar as regras de probabilidade, especialmente a multiplicação de probabilidades para eventos independentes e como manipular frações para resolver problemas práticos.
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