ENEM 2024 — Questão 174: Matemática

Resolução comentada da questão 174 do ENEM 2024

Resolução

Para resolver essa questão, precisamos entender a probabilidade de um ônibus encontrar os semáforos vermelhos. Inicialmente, cada semáforo fica vermelho por 15 segundos em um ciclo de 60 segundos. Assim, a probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho é dada por:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os semáforos vermelhos é o produto das probabilidades individuais:

O engenheiro deseja que essa probabilidade seja igual a $\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Para isso, devemos ajustar o tempo em que cada semáforo ficará vermelho. Se chamarmos a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho de $x$, o novo tempo em que cada semáforo ficará vermelho será $15 - x$ segundos. O novo ciclo total será de 60 segundos, então a nova probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho se torna:

A probabilidade de encontrar ambos os semáforos vermelhos agora é:

Igualando essa expressão a $\frac{1}{25}$:

Resolvendo a equação, temos:

Multiplicando ambos os lados por 60:

Assim, isolando $x$:

Portanto, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho é de 3 segundos.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 1,35. Essa alternativa está incorreta porque a redução de 1,35 segundos não resulta na probabilidade desejada de $\frac{1}{25}$.

(B) 3,00. Esta é a alternativa correta — ver acima.

(C) 9,00. Essa opção está errada, pois uma redução de 9 segundos resultaria em um tempo de 6 segundos para o sinal vermelho, o que aumentaria a probabilidade de encontrar o semáforo vermelho, não a diminuiria para $\frac{1}{25}$.

(D) 12,60. Uma redução de 12,60 segundos resultaria em um sinal vermelho por apenas 2,40 segundos, o que tornaria a probabilidade de encontrar o semáforo vermelho muito baixa, não atingindo o valor desejado.

(E) 13,80. Essa alternativa é errada porque uma redução de 13,80 segundos deixaria o semáforo vermelho por apenas 1,20 segundos, o que não atende à condição de probabilidade estabelecida.

Conceito-chave para revisar

A questão aborda o conceito de probabilidade e como ela se aplica a eventos independentes. Para aprofundar-se, é recomendável estudar as regras de probabilidade, especialmente a multiplicação de probabilidades para eventos independentes e como manipular frações para resolver problemas práticos.