ENEM 2024 — Questão 147: Matemática
Resposta: alternativa A
3 × 2^19
Para resolver essa questão, é importante entender o padrão de crescimento do número de figuras que a criança insere na mensagem.
Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
| Etapas | Visor de escrita |
|---|---|
| 1ª etapa: inseriu três figuras do tipo 🙂 no visor de escrita da mensagem; | 🙂🙂🙂 |
| 2ª etapa: copiou o que havia inserido anteriormente e colou (inseriu o que havia copiado) ao lado; | 🙂🙂🙂🙂🙂🙂 |
| 3ª etapa: copiou o que tinha no visor na 2ª etapa e colou ao lado. | 🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂 |
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a vigésima etapa. Em seguida, enviou a mensagem. Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
Resolução comentada da questão 147 do ENEM 2024
Resolução
Para resolver essa questão, é importante entender o padrão de crescimento do número de figuras que a criança insere na mensagem. Na primeira etapa, ela insere 3 figuras do tipo 🙂. A partir da segunda etapa, ela copia e cola o que já está no visor, duplicando a quantidade de figuras a cada nova etapa.
Na segunda etapa, ela tem 6 figuras (3 da primeira etapa, duplicadas). Na terceira etapa, ela copia as 6 figuras e adiciona mais 6, resultando em 12 figuras. Observando esse padrão, percebemos que a cada nova etapa, o número de figuras é multiplicado por 2. Portanto, na n-ésima etapa, o número total de figuras pode ser descrito pela fórmula: (3 \times 2^{n-1}).
Como a criança continua esse processo até a vigésima etapa, substituímos (n) por 20. Assim, o total de figuras na vigésima etapa é (3 \times 2^{20 - 1} = 3 \times 2^{19}).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(B) A alternativa (B) apresenta (3 \times 2^{20}). Essa expressão considera que na vigésima etapa a criança teria copiado e colado uma vez a mais do que realmente fez. O correto é que na vigésima etapa, ela copiou o resultado da décima nona etapa, o que resulta em (3 \times 2^{19}).
(C) A alternativa (C) afirma que o total seria (3 \times 2^{21}). Essa opção também está errada, pois sugere que a criança teria copiado e colado uma etapa a mais do que o necessário. O crescimento é exponencial, mas a base correta é (2^{19}) para a vigésima etapa.
(D) A alternativa (D) apresenta (3(2^{20}) - 1). Essa expressão não se aplica ao problema, pois não há subtração de figuras. O número total de figuras é simplesmente o resultado da duplicação, sem necessidade de ajustes.
(E) A alternativa (E) sugere (3(2^{20}) - 3). Assim como na alternativa anterior, a subtração não é justificada. O total de figuras é um número positivo e deve ser calculado apenas pela duplicação, sem ajustes adicionais.
Conceito-chave para revisar
Essa questão testa o conceito de progressão geométrica, onde cada termo é o dobro do anterior. O crescimento exponencial é um tema importante em matemática, especialmente em contextos que envolvem duplicação ou crescimento em etapas. Para aprofundar-se, estude sobre sequências e séries, além de progressões geométricas.
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