ENEM 2024 — Questão 169: Matemática

Resolução comentada da questão 169 do ENEM 2024

Resolução

Para determinar qual forma geométrica resulta na maior área utilizando uma quantidade fixa de cerca, é necessário entender como calcular a área de cada figura em função do perímetro. Neste caso, temos três formas: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. A área de cada uma delas pode ser expressa em função do comprimento da cerca ( k ).

1. Triângulo equilátero: O perímetro é ( k ), então cada lado mede ( \frac{k}{3} ). A área ( A ) é dada por ( A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{k}{3}\right)^2 = \frac{k^2 \cdot \sqrt{3}}{36} ).

2. Quadrado: O perímetro é ( k ), logo cada lado mede ( \frac{k}{4} ). A área ( A ) é ( A = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} ).

3. Hexágono regular: O perímetro é ( k ), então cada lado mede ( \frac{k}{6} ). A área ( A ) é dada por ( A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{k}{6}\right)^2 = \frac{3 \cdot k^2 \cdot \sqrt{3}}{72} = \frac{k^2 \cdot \sqrt{3}}{24} ).

Comparando as áreas, a do hexágono regular é a maior, pois ( \frac{k^2 \cdot \sqrt{3}}{24} ) é maior que ( \frac{k^2 \cdot \sqrt{3}}{36} ) e ( \frac{k^2}{16} ) para valores positivos de ( k ). Portanto, a forma escolhida pelo jardineiro será o hexágono regular.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(B) A área do hexágono regular é incorretamente apresentada como ( \frac{3 \cdot k^{2} \cdot \sqrt{3}}{2} ). O cálculo correto resulta em ( \frac{k^2 \cdot \sqrt{3}}{24} ), que é muito menor do que o valor apresentado.

(C) A área do quadrado foi calculada corretamente como ( \frac{k^2}{16} ), mas essa área é menor do que a do hexágono regular, que é a forma que maximiza a área.

(D) A área do triângulo equilátero foi apresentada corretamente como ( \frac{k^{2} \cdot \sqrt{3}}{36} ), mas, assim como no caso do quadrado, essa área é menor que a do hexágono regular.

(E) A área do triângulo equilátero foi incorretamente apresentada como ( \frac{k^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} ). O cálculo correto é ( \frac{k^{2} \cdot \sqrt{3}}{36} ), que é muito menor do que o valor indicado.

Conceito-chave para revisar

Esta questão testa o conceito de área de figuras geométricas em função do perímetro. Para aprofundar, é interessante revisar as fórmulas de área de triângulos, quadrados e hexágonos, além de explorar como a geometria pode ser aplicada em problemas práticos, como o planejamento de jardins ou espaços.