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ENEM 2023 — Questão 158: Matemática

Resposta: alternativa D

Ruim.

Para resolver a questão, precisamos analisar a função \( V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105 \), que representa o montante diário arrecadado pela empresa em milhar de reais.

Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão V de x é igual a, abre parêntese, x ao quadrado sobre 4, fecha parêntese, menos 10 vezes x mais 105, em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30. Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário V0 arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real. • Ótimo: V0 maior ou igual a 24. • Bom: 20 menor ou igual a V0 menor que 24. • Normal: 10 menor ou igual a V0 menor que 20. • Ruim: 4 menor ou igual a V0 menor que 10. • Péssimo: V0 menor que 4. No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?

Resolução comentada da questão 158 do ENEM 2023

Resolução

Para resolver a questão, precisamos analisar a função V(x)=x24−10x+105V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105, que representa o montante diário arrecadado pela empresa em milhar de reais. O objetivo é encontrar o menor valor dessa função no intervalo de x=1x = 1 a x=30x = 30. Para isso, podemos utilizar o conceito de mínimo de uma função quadrática.

A função V(x)V(x) é uma parábola que abre para cima, uma vez que o coeficiente de x2x^2 é positivo. O mínimo da parábola ocorre no vértice, que pode ser encontrado pela fórmula xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}, onde a=14a = \frac{1}{4} e b=−10b = -10. Substituindo os valores, temos:

xv=−−102⋅14=1012=20.x_v = -\frac{-10}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20.

Agora, substituímos x=20x = 20 na função V(x)V(x) para encontrar o valor mínimo:

V(20)=2024−10⋅20+105=4004−200+105=100−200+105=5.V(20) = \frac{20^2}{4} - 10 \cdot 20 + 105 = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5.

O menor montante diário arrecadado, V0V_0, é 5 milhar de reais. De acordo com as categorias apresentadas, esse valor se enquadra na classificação "Ruim", pois 4≤V0<104 \leq V_0 < 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Ótimo. Esta alternativa está errada porque o menor montante diário arrecadado foi de 5 milhar de reais, que não atinge o critério de ser maior ou igual a 24.

(B) Bom. Esta alternativa também está errada, pois o valor de 5 milhar de reais não se encaixa entre 20 e 24, que é a faixa definida para a classificação "Bom".

(C) Normal. Esta alternativa está incorreta, já que o valor de 5 milhar de reais não está entre 10 e 20, que é a faixa para a classificação "Normal".

(D) Ruim. Esta é a alternativa correta, pois o menor montante diário arrecadado foi de 5 milhar de reais, que se encaixa na faixa de 4 a 10, classificando o desempenho como "Ruim".

(E) Péssimo. Esta alternativa está errada, uma vez que o valor de 5 milhar de reais não é menor que 4, portanto não se enquadra na classificação "Péssimo".

Conceito-chave para revisar

A questão testa o entendimento sobre funções quadráticas e a determinação de seus extremos (mínimos ou máximos) através do cálculo do vértice. Para aprofundar-se, é recomendável revisar as propriedades das funções quadráticas e a aplicação da fórmula do vértice, além de exercícios práticos sobre o tema.

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Questão 157Questão 159

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