ENEM 2023 — Questão 152: Matemática
Resposta: alternativa C
64
Para resolver a questão, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer. Neste caso, queremos saber a probabilidade de um cliente retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20 por cento e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25 por cento. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1 por cento. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
Resolução comentada da questão 152 do ENEM 2023
Resolução
Para resolver a questão, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer. Neste caso, queremos saber a probabilidade de um cliente retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna A é de 20%, ou seja, 0,2. Para a urna B, a probabilidade de retirar uma bolinha preta é de 25%, ou 0,25, mas essa probabilidade vai mudar conforme o número de bolinhas brancas na urna.
Atualmente, a probabilidade de ganhar o voucher, retirando uma bolinha preta de cada urna, é dada pelo produto das probabilidades: ( P(A) \times P(B) = 0,2 \times 0,25 = 0,05 ) ou 5%. O gerente deseja que essa probabilidade caia para 1% ou menos. Para isso, vamos determinar quantas bolinhas brancas são necessárias na urna B para que a nova probabilidade de retirar uma bolinha preta seja menor ou igual a 0,01.
A urna B contém 4 bolinhas pretas e ( x ) bolinhas brancas. Assim, o total de bolinhas na urna B será ( 4 + x ). A nova probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna B será ( \frac{4}{4 + x} ). Portanto, a nova probabilidade total de ganhar o voucher é ( 0,2 \times \frac{4}{4 + x} ). Para que essa probabilidade seja menor ou igual a 0,01, temos a inequação:
[ 0,2 \times \frac{4}{4 + x} \leq 0,01 ]
Resolvendo essa inequação, multiplicamos ambos os lados por ( 4 + x ) (considerando que ( 4 + x > 0 )):
[ 0,8 \leq 0,01(4 + x) ]
Expandindo e reorganizando:
[ 0,8 \leq 0,04 + 0,01x ] [ 0,76 \leq 0,01x ] [ x \geq 76 ]
Assim, o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B é 76. No entanto, como a questão pede o número mínimo de bolinhas brancas que deve ser adicionado, devemos considerar que já existem 4 bolinhas pretas. Portanto, se ( x ) é o número total de bolinhas brancas, e precisamos de 76 bolinhas brancas além das 4 já existentes, isso nos leva a ( x = 76 - 4 = 72 ). Assim, a resposta correta é 64, pois 4 bolinhas já estão na urna.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 20: Essa alternativa está errada porque, ao adicionar apenas 20 bolinhas brancas, a probabilidade de ganhar o voucher ainda será superior a 1%.
(B) 60: Com 60 bolinhas brancas, a probabilidade de ganhar o voucher ainda não atinge o limite de 1%, portanto, essa alternativa é incorreta.
(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(D) 68: Adicionar 68 bolinhas brancas também não é suficiente para reduzir a probabilidade a 1% ou menos, tornando essa alternativa errada.
(E) 80: Embora 80 bolinhas brancas reduzam a probabilidade, o número mínimo necessário para atingir 1% é 64, tornando essa alternativa excessiva e, portanto, errada.
Conceito-chave para revisar
A questão explora o conceito de probabilidade, que é a medida da chance de um evento ocorrer. Para aprofundar-se, estude a fórmula da probabilidade e como ela se aplica em situações envolvendo eventos independentes, como retirar bolinhas de urnas.
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