MatemáticaMatemáticaPrincípios de Contagem e Probabilidade

ENEM 2023 — Questão 152: Matemática

Resposta: alternativa C

64

Para resolver a questão, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer. Neste caso, queremos saber a probabilidade de um cliente retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20 por cento e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25 por cento. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1 por cento. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

Resolução comentada da questão 152 do ENEM 2023

Resolução

Para resolver a questão, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer. Neste caso, queremos saber a probabilidade de um cliente retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna A é de 20%, ou seja, 0,2. Para a urna B, a probabilidade de retirar uma bolinha preta é de 25%, ou 0,25, mas essa probabilidade vai mudar conforme o número de bolinhas brancas na urna.

Atualmente, a probabilidade de ganhar o voucher, retirando uma bolinha preta de cada urna, é dada pelo produto das probabilidades: P(A)×P(B)=0,2×0,25=0,05P(A) \times P(B) = 0,2 \times 0,25 = 0,05 ou 5%. O gerente deseja que essa probabilidade caia para 1% ou menos. Para isso, vamos determinar quantas bolinhas brancas são necessárias na urna B para que a nova probabilidade de retirar uma bolinha preta seja menor ou igual a 0,01.

A urna B tem 4 bolinhas pretas, e elas representam 25% do total. Logo, o total atual é 4÷0,25=164 \div 0,25 = 16 bolinhas, das quais 12 são brancas.

Se o gerente acrescentar nn bolinhas brancas, a urna B passa a ter 16+n16 + n bolinhas, e a probabilidade de sortear uma preta nela vira 416+n\frac{4}{16 + n}. A probabilidade de ganhar o voucher passa a ser:

0,2×416+n=0,816+n0,2 \times \frac{4}{16 + n} = \frac{0,8}{16 + n}

Para que ela seja menor ou igual a 1%, temos a inequação:

0,816+n≤0,01\frac{0,8}{16 + n} \leq 0,01

Como 16+n>016 + n > 0, podemos multiplicar os dois lados por 16+n16 + n e dividir por 0,01:

16+n≥0,80,01=8016 + n \geq \frac{0,8}{0,01} = 80 n≥64n \geq 64

Portanto, o número mínimo de bolinhas brancas a acrescentar à urna B é 64 — alternativa (C).

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 20: Essa alternativa está errada porque, ao adicionar apenas 20 bolinhas brancas, a probabilidade de ganhar o voucher ainda será superior a 1%.

(B) 60: Com 60 bolinhas brancas, a probabilidade de ganhar o voucher seria de cerca de 1,05%, ainda acima do limite de 1%.

(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) 68: Com 68 bolinhas brancas a probabilidade já fica abaixo de 1%, mas 68 não é o número mínimo, pois com 64 a condição já é atendida.

(E) 80: Com 80 bolinhas brancas a probabilidade fica abaixo de 1%, mas o número mínimo necessário é 64, o que torna essa alternativa maior do que o necessário.

Conceito-chave para revisar

A questão explora o conceito de probabilidade, que é a medida da chance de um evento ocorrer. Para aprofundar-se, estude a fórmula da probabilidade e como ela se aplica em situações envolvendo eventos independentes, como retirar bolinhas de urnas.

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