ENEM 2022 — Questão 139: Matemática
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível. Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
Resolução comentada da questão 139 do ENEM 2022
Resolução
Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de distância mínima em um plano cartesiano. O problema envolve a construção de duas rodovias que conectam as cidades A e B a um ponto de interseção na Rodovia 003. A ideia é que a soma das distâncias percorridas pelas rodovias 001 e 002 seja a menor possível.
A configuração geométrica sugere que, para minimizar a distância total, o ponto de conexão deve ser posicionado de forma que as distâncias de A e B até esse ponto sejam equilibradas. Isso geralmente ocorre quando o ponto de conexão está alinhado de maneira a criar ângulos retos ou simétricos em relação às cidades. A alternativa que apresenta essa configuração ideal é a alternativa (D), que corresponde ao ponto 4. A escolha desse ponto garante que as distâncias percorridas pelas rodovias sejam minimizadas, pois ele se encontra em uma posição que equilibra as distâncias de A e B.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) A alternativa 1 está errada porque, ao escolher esse ponto, a distância total percorrida pelas rodovias seria maior do que a mínima possível. Isso ocorre porque a rodovia 001 ficaria muito mais longa em relação à rodovia 002, resultando em um percurso desbalanceado.
(B) A alternativa 2 também está incorreta. Embora possa parecer uma opção viável, a distância total ainda seria maior do que a da alternativa 4, pois o ponto de conexão não está otimizado para equilibrar as distâncias entre as cidades A e B.
(C) A alternativa 3 apresenta um problema semelhante. A escolha desse ponto não proporciona a menor soma das distâncias, pois a rodovia que conecta a cidade A ficaria desproporcionalmente longa em relação à rodovia que conecta a cidade B.
(D) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(E) A alternativa 5 está errada, pois, assim como nas outras opções, a distância total percorrida pelas rodovias não seria a mínima. O ponto 5 está muito distante do alinhamento ideal entre as cidades, resultando em um percurso mais longo.
Conceito-chave para revisar
Esta questão testa o conceito de distância mínima em geometria, especialmente em um contexto de otimização de trajetos. Para aprofundar, você pode estudar sobre triângulos, ângulos e propriedades de segmentos de reta em geometria analítica, além de explorar problemas de otimização em contextos práticos, como o planejamento de rotas e trajetos.
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