ENEM 2022 — Questão 145: Matemática

Resolução comentada da questão 145 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume da peça cilíndrica e o volume de uma esfera. O volume de um cilindro é dado pela fórmula ( V = \pi r^2 h ), onde ( r ) é o raio da base e ( h ) é a altura. No caso da peça, temos um raio de 4 cm e uma altura de 50 cm. Assim, o volume do cilindro é:

[ V_{cilindro} = \pi (4^2)(50) = \pi (16)(50) = 800\pi \text{ cm}^3 ]

Agora, vamos calcular o volume de uma esfera. O volume de uma esfera é dado pela fórmula ( V = \frac{4}{3} \pi r^3 ). Como o diâmetro da esfera é de 1 cm, o raio ( r ) será de 0,5 cm. Portanto, o volume da esfera é:

[ V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi (0,5^3) = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{4}{24} \pi = \frac{1}{6} \pi \text{ cm}^3 ]

Com os volumes calculados, podemos agora determinar quantas esferas podem ser feitas a partir do volume do cilindro. Para isso, dividimos o volume do cilindro pelo volume de uma esfera:

[ \text{Quantidade de esferas} = \frac{V_{cilindro}}{V_{esfera}} = \frac{800\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 800 \times 6 = 4800 ]

Portanto, a quantidade de esferas que podem ser produzidas a partir de cada peça cilíndrica é 4.800.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 800: Esta alternativa está errada porque considera uma quantidade muito inferior à correta. O cálculo do volume da esfera não foi realizado corretamente.

(B) 1 200: Esta alternativa também está errada. O valor não corresponde à divisão correta dos volumes, resultando em uma quantidade que não reflete a relação entre os volumes do cilindro e da esfera.

(C) 2 400: Esta alternativa está incorreta. O número de esferas calculado é muito menor do que o esperado, indicando um erro na aplicação das fórmulas de volume.

(D) 4 800: Esta é a alternativa correta — ver acima.

(E) 6 400: Esta alternativa está errada. O valor é superior ao que foi calculado, sugerindo um erro na multiplicação ou na interpretação dos volumes.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conhecimento sobre o cálculo de volumes de sólidos geométricos, especificamente cilindros e esferas. Para aprofundar-se, revise as fórmulas de volume e pratique problemas envolvendo a conversão de um tipo de sólido em outro, considerando a conservação de volume.