ENEM 2022 — Questão 158: Matemática
Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p de t é igual a menos t ao quadrado mais 10 vezes t mais 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p de t a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (1, 2, 3, 4 e 5), com diferentes períodos de intensificação das propagandas: • 1: 1 menor ou igual a t menor ou igual a 2; • 2: 3 menor ou igual a t menor ou igual a 4; • 3: 5 menor ou igual a t menor ou igual a 6; • 4: 7 menor ou igual a t menor ou igual a 9; • 5: 10 menor ou igual a t menor ou igual a 12. A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita. A proposta escolhida foi a
Resolução comentada da questão 158 do ENEM 2022
Resolução
Para resolver a questão, é necessário entender o modelo matemático que descreve a quantidade de pessoas infectadas ao longo do ano. A função dada é ( p(t) = -t^2 + 10t + 24 ), onde ( t ) representa os meses do ano, variando de 1 a 12. O objetivo é determinar o mês em que o número de infectados é máximo. Para isso, podemos utilizar o conceito de máximo de uma função quadrática.
A função quadrática ( p(t) ) tem a forma ( ax^2 + bx + c ), onde ( a = -1 ), ( b = 10 ) e ( c = 24 ). O máximo de uma parábola que abre para baixo (como é o caso aqui, já que ( a < 0 )) ocorre no vértice, que pode ser encontrado pela fórmula ( t = -\frac{b}{2a} ). Substituindo os valores, temos:
[ t = -\frac{10}{2 \times -1} = 5 ]
Agora, substituímos ( t = 5 ) na função ( p(t) ) para encontrar a quantidade máxima de infectados:
[ p(5) = -5^2 + 10 \times 5 + 24 = -25 + 50 + 24 = 49 ]
Portanto, o mês em que há o maior número de infectados é o mês 5 (maio). A proposta que engloba esse mês é a proposta 3, que abrange o intervalo de ( t = 5 ) a ( t = 6 ).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa está errada porque abrange os meses 1 e 2, que não incluem o mês 5, onde ocorre o pico de infectados.
(B) Esta alternativa está errada porque cobre os meses 3 e 4, que também não incluem o mês 5, onde a quantidade de infectados é máxima.
(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(D) Esta alternativa está errada porque abrange os meses 7 a 9, que estão após o mês 5, portanto não incluem o pico de infectados.
(E) Esta alternativa está errada porque cobre os meses 10 a 12, que estão muito além do mês 5, onde a quantidade de infectados é máxima.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o entendimento sobre funções quadráticas e a localização de seus máximos e mínimos. Para aprofundar, é recomendável estudar as propriedades das funções quadráticas, incluindo o cálculo do vértice e a interpretação de gráficos.
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