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ENEM 2022 — Questão 158: Matemática

Resposta: alternativa C

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Para resolver a questão, é necessário entender o modelo matemático que descreve a quantidade de pessoas infectadas ao longo do ano.

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p de t é igual a menos t ao quadrado mais 10 vezes t mais 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p de t a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (1, 2, 3, 4 e 5), com diferentes períodos de intensificação das propagandas: • 1: 1 menor ou igual a t menor ou igual a 2; • 2: 3 menor ou igual a t menor ou igual a 4; • 3: 5 menor ou igual a t menor ou igual a 6; • 4: 7 menor ou igual a t menor ou igual a 9; • 5: 10 menor ou igual a t menor ou igual a 12. A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita. A proposta escolhida foi a

Resolução comentada da questão 158 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver a questão, é necessário entender o modelo matemático que descreve a quantidade de pessoas infectadas ao longo do ano. A função dada é p(t)=−t2+10t+24p(t) = -t^2 + 10t + 24, onde tt representa os meses do ano, variando de 1 a 12. O objetivo é determinar o mês em que o número de infectados é máximo. Para isso, podemos utilizar o conceito de máximo de uma função quadrática.

A função quadrática p(t)p(t) tem a forma ax2+bx+cax^2 + bx + c, onde a=−1a = -1, b=10b = 10 e c=24c = 24. O máximo de uma parábola que abre para baixo (como é o caso aqui, já que a<0a < 0) ocorre no vértice, que pode ser encontrado pela fórmula t=−b2at = -\frac{b}{2a}. Substituindo os valores, temos:

t=−102×−1=5t = -\frac{10}{2 \times -1} = 5

Agora, substituímos t=5t = 5 na função p(t)p(t) para encontrar a quantidade máxima de infectados:

p(5)=−52+10×5+24=−25+50+24=49p(5) = -5^2 + 10 \times 5 + 24 = -25 + 50 + 24 = 49

Portanto, o mês em que há o maior número de infectados é o mês 5 (maio). A proposta que engloba esse mês é a proposta 3, que abrange o intervalo de t=5t = 5 a t=6t = 6.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Esta alternativa está errada porque abrange os meses 1 e 2, que não incluem o mês 5, onde ocorre o pico de infectados.

(B) Esta alternativa está errada porque cobre os meses 3 e 4, que também não incluem o mês 5, onde a quantidade de infectados é máxima.

(C) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) Esta alternativa está errada porque abrange os meses 7 a 9, que estão após o mês 5, portanto não incluem o pico de infectados.

(E) Esta alternativa está errada porque cobre os meses 10 a 12, que estão muito além do mês 5, onde a quantidade de infectados é máxima.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o entendimento sobre funções quadráticas e a localização de seus máximos e mínimos. Para aprofundar, é recomendável estudar as propriedades das funções quadráticas, incluindo o cálculo do vértice e a interpretação de gráficos.

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Questão 156Questão 159

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