ENEM 2023 — Questão 176: Matemática
Resposta: alternativa C
12 x sqrt(2).
Para resolver essa questão, é necessário entender a relação entre a altura do mastro, o ângulo formado pelos cabos e o comprimento dos cabos de aço.
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo alfa com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação: • opção 1: h = 11 metros e alfa = 30 graus • opção 2: h = 12 metros e alfa = 45 graus • opção 3: h = 18 metros e alfa = 60 graus. A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
Resolução comentada da questão 176 do ENEM 2023
Resolução
Para resolver essa questão, é necessário entender a relação entre a altura do mastro, o ângulo formado pelos cabos e o comprimento dos cabos de aço. Cada cabo pode ser considerado como a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde a altura do mastro representa um dos catetos e a distância horizontal do ponto de fixação do cabo no chão até a base do mastro representa o outro cateto. O comprimento do cabo pode ser calculado usando a relação do seno ou cosseno, dependendo do que se deseja encontrar.
A fórmula que relaciona a altura ( h ), o ângulo ( \alpha ) e o comprimento ( L ) do cabo é dada por ( L = \frac{h}{\sin(\alpha)} ). Assim, precisamos calcular o comprimento dos cabos para cada uma das opções apresentadas.
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Para a opção 1, com ( h = 11 ) metros e ( \alpha = 30^\circ ): [ L_1 = \frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{11}{0,5} = 22 \text{ metros}. ]
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Para a opção 2, com ( h = 12 ) metros e ( \alpha = 45^\circ ): [ L_2 = \frac{12}{\sin(45^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \times \sqrt{2} \text{ metros}. ]
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Para a opção 3, com ( h = 18 ) metros e ( \alpha = 60^\circ ): [ L_3 = \frac{18}{\sin(60^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12 \times \sqrt{3} \text{ metros}. ]
Comparando os comprimentos dos cabos, temos: ( L_1 = 22 ) metros, ( L_2 = 12 \sqrt{2} ) metros e ( L_3 = 12 \sqrt{3} ) metros. O menor comprimento é ( 12 \sqrt{2} ) metros, que corresponde à opção 2.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 22 x sqrt(3)/3.
Esta alternativa está errada porque o cálculo do comprimento do cabo para a opção 1, que resulta em 22 metros, não corresponde a ( 22 \times \frac{\sqrt{3}}{3} ). O comprimento correto é simplesmente 22 metros.
(B) 11 x sqrt(2).
Esta alternativa está errada, pois o comprimento do cabo para a opção 1 não é ( 11 \times \sqrt{2} ). O cálculo correto para a opção 1 já foi feito e resulta em 22 metros.
(C) 12 x sqrt(2).
Esta é a alternativa correta. O comprimento do cabo para a opção 2, que é a menor medida, foi calculado como ( 12 \sqrt{2} ) metros.
(D) 12 x sqrt(3).
Esta alternativa está errada porque o comprimento do cabo para a opção 3 foi calculado como ( 12 \sqrt{3} ) metros, que é maior que ( 12 \sqrt{2} ) metros.
(E) 22.
Esta alternativa está errada, pois 22 metros é o comprimento do cabo para a opção 1, que não é a menor medida entre as opções apresentadas.
Conceito-chave para revisar
A questão aborda a trigonometria aplicada a triângulos retângulos, especificamente a relação entre os lados e os ângulos. Para aprofundar seus conhecimentos, revise as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e suas aplicações em problemas de geometria.
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