ENEM 2023 — Questão 170: Matemática
Resposta: alternativa E
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de progressão aritmética (PA) e como os números podem ser dispostos em um triângulo mágico.
O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
Resolução comentada da questão 170 do ENEM 2023
Resolução
Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de progressão aritmética (PA) e como os números podem ser dispostos em um triângulo mágico. Um triângulo mágico é aquele em que a soma dos números em cada lado é a mesma. No caso, os números nos vértices do triângulo devem estar em PA com razão igual a 2.
Considerando os números de 1 a 6, a soma total é 21. Se os vértices estão em PA, podemos representá-los como (a), (a+2) e (a+4). A soma dos vértices é (3a + 6). Para que as somas dos lados sejam iguais, precisamos distribuir os números restantes nos círculos de forma que a soma em cada lado do triângulo atinja os valores possíveis. Após realizar as combinações e verificar as somas, encontramos duas soluções: uma em que as somas dos lados são iguais a 10 e outra em que são iguais a 11.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa afirma que há somente uma solução possível com somas iguais a 7. No entanto, ao analisar as combinações de números, é possível verificar que existem mais de uma solução, o que torna essa afirmação incorreta.
(B) Aqui, a alternativa diz que há somente uma solução com somas iguais a 9. Assim como na alternativa anterior, as combinações demonstram que essa soma não é a única possível, invalidando a afirmação.
(C) Esta alternativa sugere que existem duas soluções, uma com soma igual a 7 e outra com soma igual a 9. Contudo, ao realizar as verificações, percebe-se que não há soluções que resultem em soma igual a 7, o que torna essa alternativa errada.
(D) A alternativa indica que existem duas soluções, uma com soma igual a 9 e outra com soma igual a 12. Novamente, as somas possíveis não incluem 12, e a soma igual a 9 também não é uma solução válida, tornando essa opção incorreta.
(E) Esta é a alternativa correta. As somas dos lados do triângulo podem ser iguais a 10 e 11, conforme demonstrado nas combinações válidas dos números dispostos nos círculos.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o entendimento sobre progressão aritmética e a aplicação desse conceito em problemas de combinação e soma. Para aprofundar-se, é recomendável revisar os conceitos de PA, somas de conjuntos e problemas de combinação. Livros de matemática do ensino médio e plataformas de estudo online podem oferecer exercícios práticos sobre o tema.
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