ENEM 2022 — Questão 172: Matemática

Resolução comentada da questão 172 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular o número total de configurações de um carro, levando em consideração as variáveis apresentadas: modelos, motores, opcionais e cores. A montadora oferece 7 modelos de carros e 2 tipos de motores. Portanto, a combinação de modelos e motores resulta em:

[ \text{Total de combinações de modelos e motores} = 7 \times 2 = 14 ]

Em relação aos opcionais, existem 3 opções disponíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro. Cada cliente pode escolher incluir nenhum, um, dois ou todos os três opcionais. O número de combinações de opcionais pode ser calculado usando a fórmula das combinações, considerando que cada opcional pode ser incluído ou não. Assim, para 3 opcionais, temos:

[ \text{Total de combinações de opcionais} = 2^3 = 8 ]

Agora, para encontrar o total de configurações de carros, multiplicamos as combinações de modelos e motores pelas combinações de opcionais:

[ \text{Total de configurações} = 14 \times 8 = 112 ]

A montadora afirma oferecer mais de 1.000 configurações diferentes. Para que essa afirmação seja verdadeira, precisamos considerar também a quantidade de cores. Se chamarmos o número de cores de ( x ), a equação que representa a quantidade total de configurações é:

[ 112 \times x > 1000 ]

Resolvendo essa inequação para ( x ):

[ x > \frac{1000}{112} \approx 8,93 ]

Como o número de cores deve ser um número inteiro, a quantidade mínima de cores que a montadora deve oferecer é 9.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 8. Esta alternativa está errada porque, ao considerar apenas 8 cores, o total de configurações seria ( 112 \times 8 = 896 ), que é inferior a 1.000. Portanto, não atende à afirmação da montadora.

(B) 9. Esta é a alternativa correta — ver acima.

(C) 11. Embora 11 cores ofereçam um total de configurações de ( 112 \times 11 = 1.232 ), que é superior a 1.000, a questão pede a quantidade mínima. Portanto, essa alternativa é excessiva.

(D) 18. Assim como a alternativa anterior, 18 cores resultariam em ( 112 \times 18 = 2.016 ) configurações, o que também é superior a 1.000, mas não é a quantidade mínima necessária.

(E) 24. Esta alternativa também é incorreta, pois 24 cores resultariam em ( 112 \times 24 = 2.688 ) configurações, que é muito mais do que o necessário, tornando-a uma escolha desnecessária.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conceito de combinações e a aplicação de inequações. Para aprofundar seus conhecimentos, é interessante revisar a teoria sobre combinações e permutações, além de praticar problemas que envolvam multiplicação de possibilidades, como em situações de escolha de itens em diferentes categorias.