ENEM 2022 — Questão 166: Matemática

Resolução comentada da questão 166 do ENEM 2022

Resolução

A Lei de Stefan-Boltzmann afirma que a luminosidade ( L ) de uma estrela é proporcional ao quadrado do seu raio ( R ) e à quarta potência da sua temperatura ( T ). A relação pode ser expressa como:

[ L = c \cdot R^2 \cdot T^4 ]

Para as estrelas E e F, temos as seguintes informações: a estrela E tem metade do raio da estrela F (( R_E = \frac{1}{2} R_F )) e o dobro da temperatura da estrela F (( T_E = 2 T_F )). Agora, substituímos essas relações na fórmula da luminosidade para cada estrela.

Para a estrela E:

[ L_E = c \cdot \left(\frac{1}{2} R_F\right)^2 \cdot (2 T_F)^4 ]

Calculando isso, temos:

[ L_E = c \cdot \frac{1}{4} R_F^2 \cdot 16 T_F^4 = 4c \cdot R_F^2 \cdot T_F^4 ]

Agora, para a estrela F, a luminosidade é:

[ L_F = c \cdot R_F^2 \cdot T_F^4 ]

Agora, podemos comparar as luminosidades:

[ L_E = 4L_F ]

Portanto, a relação entre as luminosidades das estrelas E e F é que ( L_E ) é igual a 4 vezes ( L_F ), o que corresponde à alternativa (D).

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) Esta alternativa sugere que ( L_E ) é igual a ( \frac{L_F}{2} ). Isso está incorreto, pois a relação correta, conforme calculado, é que ( L_E ) é 4 vezes ( L_F ), não 0,5 vezes.

(B) Aqui, a afirmação é que ( L_E ) é igual a ( \frac{L_F}{4} ). Isso também está errado, pois indica que a luminosidade da estrela E é menor do que a da estrela F, o que contradiz o resultado da nossa análise.

(C) A alternativa afirma que ( L_E ) é igual a ( L_F ). Essa é uma afirmação falsa, pois já demonstramos que ( L_E ) é 4 vezes maior que ( L_F ).

(D) Esta é a alternativa correta — ver acima.

(E) A última alternativa sugere que ( L_E ) é igual a 8 vezes ( L_F ). Isso é incorreto, pois, conforme os cálculos, ( L_E ) é 4 vezes ( L_F ), não 8.

Conceito-chave para revisar

A questão testa a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a luminosidade de uma estrela ao seu raio e temperatura. Para aprofundar-se nesse conceito, é recomendável estudar física estelar e as propriedades das estrelas em livros de física ou recursos online que abordem a astrofísica.