ENEM 2023 — Questão 162: Matemática
Resposta: alternativa A
tipo 1, pois p1 < p2 < p3.
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a probabilidade de uma senha ser descoberta ao acaso.
Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: •algarismos de 0 a 9; •26 letras minúsculas do alfabeto; •26 letras maiúsculas do alfabeto; •6 caracteres especiais exclamação, arroba, hashtag, cifrão, asterisco, e comercial. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo 1: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo 2: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo 3: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
Resolução comentada da questão 162 do ENEM 2023
Resolução
Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a probabilidade de uma senha ser descoberta ao acaso. A probabilidade é inversamente proporcional ao número total de combinações possíveis de senhas. Portanto, quanto maior o número de combinações, menor a probabilidade de uma senha ser descoberta na primeira tentativa.
Vamos calcular o número de combinações para cada tipo de senha. Para o tipo 1, que consiste em quatro caracteres distintos, temos 62 caracteres disponíveis (10 algarismos + 26 letras minúsculas + 26 letras maiúsculas). O número de combinações é dado pela fórmula de combinação, que é (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}), multiplicado pelo número de arranjos dos 4 caracteres escolhidos. Assim, o total de senhas possíveis para o tipo 1 é:
[ C(62, 4) \times 4! = \frac{62!}{(62-4)! \cdot 4!} \times 24 ]
Para o tipo 2, a senha é composta por três letras, um algarismo e um caractere especial. O número de combinações é:
[ C(26, 3) \times C(10, 1) \times C(6, 1) \times 5! = \frac{26!}{(26-3)! \cdot 3!} \times 10 \times 6 \times 120 ]
Finalmente, para o tipo 3, que consiste em duas letras, dois algarismos e dois caracteres especiais, temos:
[ C(26, 2) \times C(10, 2) \times C(6, 2) \times 6! = \frac{26!}{(26-2)! \cdot 2!} \times \frac{10!}{(10-2)! \cdot 2!} \times \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} \times 720 ]
Ao calcular essas combinações, fica claro que o número total de senhas possíveis para o tipo 1 é menor do que para os tipos 2 e 3, resultando em uma menor probabilidade de ser descoberta. Portanto, a alternativa correta é que o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso é o tipo 1, pois (p1 < p2 < p3).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(B) A afirmação de que o tipo 1 tem menor quantidade de caracteres não é suficiente para determinar a probabilidade. O que importa é o número total de combinações, não apenas a quantidade de caracteres.
(C) O tipo 2 não é o que apresenta a menor probabilidade. Embora tenha mais letras, isso não significa que a quantidade total de combinações seja menor do que a do tipo 1.
(D) A afirmação de que (p3 < p2 < p1) está incorreta. Os cálculos demonstram que (p1) é, na verdade, menor que (p2) e (p3).
(E) O tipo 3 não tem a maior quantidade de caracteres, e mesmo que tivesse, isso não implica que a probabilidade de ser descoberta seja menor. A análise das combinações é o que realmente importa.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o conceito de probabilidade e como ela se relaciona com o número de combinações possíveis em um conjunto de caracteres. Para aprofundar, estude as fórmulas de combinação e arranjo, que são fundamentais para entender como calcular a probabilidade em diferentes contextos.
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