ENEM 2023 - Questão 162

Question

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: •algarismos de 0 a 9; •26 letras minúsculas do alfabeto; •26 letras maiúsculas do alfabeto; •6 caracteres especiais exclamação, arroba, hashtag, cifrão, asterisco, e comercial. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo 1: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo 2: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo 3: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Accepted Answer

A: tipo 1, pois p1 < p2 < p3.

Para resolver essa questão, é necessário entender como calcular a probabilidade de uma senha ser descoberta ao acaso. A probabilidade é inversamente proporcional ao número total de combinações possíveis de senhas. Portanto, quanto maior o número de combinações, menor a probabilidade de uma senha ser descoberta na primeira tentativa. Vamos calcular o número de combinações para cada tipo de senha. Para o tipo 1, que consiste em quatro caracteres distintos, temos 62 caracteres disponíveis (10 algarismos + 26 letras minúsculas + 26 letras maiúsculas). O número de combinações é dado pela fórmula de combinação, que é $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, multiplicado pelo número de arranjos dos 4 caracteres escolhidos. Assim, o total de senhas possíveis para o tipo 1 é: $$ C(62, 4) \times 4! = \frac{62!}{(62-4)! \cdot 4!} \times 24 $$ Para o tipo 2, a senha é composta por três letras, um algarismo e um caractere especial. O número de combinações é: $$ C(26, 3) \times C(10, 1) \times C(6, 1) \times 5! = \frac{26!}{(26-3)! \cdot 3!} \times 10 \times 6 \times 120 $$ Finalmente, para o tipo 3, que consiste em duas letras, dois algarismos e dois caracteres especiais, temos: $$ C(26, 2) \times C(10, 2) \times C(6, 2) \times 6! = \frac{26!}{(26-2)! \cdot 2!} \times \frac{10!}{(10-2)! \cdot 2!} \times \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} \times 720 $$ Ao calcular essas combinações, fica claro que o número total de senhas possíveis para o tipo 1 é menor do que para os tipos 2 e 3, resultando em uma menor probabilidade de ser descoberta. Portanto, a alternativa correta é que o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso é o tipo 1, pois $p1 < p2 < p3$. A questão testa o conceito de probabilidade e como ela se relaciona com o número de combinações possíveis em um conjunto de caracteres. Para aprofundar, estude as fórmulas de combinação e arranjo, que são fundamentais para entender como calcular a probabilidade em diferentes contextos.

Answer

A: tipo 1, pois p1 < p2 < p3.

Answer

B: tipo 1, pois tem menor quantidade de caracteres.

Answer

C: tipo 2, pois tem maior quantidade de letras.

Answer

D: tipo 3, pois p3 < p2 < p1.

Answer

E: tipo 3, pois tem maior quantidade de caracteres.

ENEM 2023 — Questão 162: Matemática

Resposta: alternativa A

Resolução

Por que as outras alternativas estão erradas

Conceito-chave para revisar

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