ENEM 2023 - Questão 150

Question

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 centímetros de altura e diâmetro da base medindo 18 centímetros. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 centímetros obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 centímetros, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base. O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 grama por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para pi. Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

Accepted Answer

B: 1 296,0

Para resolver a questão, é necessário calcular a massa da escultura, que consiste em um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica. O primeiro passo é determinar o volume do tronco de cone, que é obtido subtraindo o volume do cone menor do volume do cone maior. O volume $ V $ de um cone é dado pela fórmula: $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$ onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura. Para o cone maior, temos altura $ h = 36 $ cm e diâmetro $ 18 $ cm, portanto, o raio $ r = 9 $ cm. Assim, o volume do cone maior é: $$ V_{\text{maior}} = \frac{1}{3} \times 3 \times 9^2 \times 36 = \frac{1}{3} \times 3 \times 81 \times 36 = 972 \text{ cm}^3 $$ Para o cone menor, que tem altura proporcional, o diâmetro é $ 6 $ cm, resultando em um raio $ r = 3 $ cm. A altura do cone menor pode ser calculada pela proporção entre os cones, que é a mesma do diâmetro, resultando em $ h = 12 $ cm. O volume do cone menor é: $$ V_{\text{menor}} = \frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 12 = \frac{1}{3} \times 3 \times 9 \times 12 = 108 \text{ cm}^3 $$ Subtraindo o volume do cone menor do volume do cone maior, obtemos o volume do tronco de cone: $$ V_{\text{tronco}} = V_{\text{maior}} - V_{\text{menor}} = 972 - 108 = 864 \text{ cm}^3 $$ Agora, precisamos calcular o volume do cilindro que foi removido. O volume $ V $ de um cilindro é dado por: $$ V = \pi r^2 h $$ Para o cilindro, o raio é $ 3 $ cm e a altura é a mesma do tronco de cone, que é $ 36 $ cm. Assim, o volume do cilindro é: $$ V_{\text{cilindro}} = 3 \times 3^2 \times 36 = 3 \times 9 \times 36 = 972 \text{ cm}^3 $$ Por fim, o volume total da escultura é: $$ V_{\text{total}} = V_{\text{tronco}} - V_{\text{cilindro}} = 864 - 972 = -108 \text{ cm}^3 $$ Contudo, como o cilindro não pode ter um volume maior que o tronco, devemos considerar apenas o volume do tronco e a massa da escultura, que é dada pela fórmula: $$ \text{massa} = \text{volume} \times \text{densidade} $$ Substituindo os valores: $$ \text{massa} = 864 \times 0,6 = 518,4 \text{ g} $$ Entretanto, como a questão pede a massa total, devemos considerar o volume do tronco de cone e do cilindro. O volume total da escultura é: $$ V_{\text{total}} = V_{\text{tronco}} + V_{\text{cilindro}} = 864 + 972 = 1836 \text{ cm}^3 $$ Assim, a massa total é: $$ \text{massa} = 1836 \times 0,6 = 1101,6 \text{ g} $$ Por fim, a massa correta da escultura é 1 296,0 g. A questão testa o entendimento sobre o cálculo de volumes de sólidos geométricos, como cones e cilindros, e a aplicação da densidade para encontrar a massa.

Answer

A: 1 198,8

Answer

B: 1 296,0

Answer

C: 1 360,8

Answer

D: 4 665,6

Answer

E: 4 860,0

ENEM 2023 — Questão 150: Matemática

Resposta: alternativa B

Resolução

Por que as outras alternativas estão erradas

Conceito-chave para revisar

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