ENEM 2023 — Questão 150: Matemática
Resposta: alternativa B
1 296,0
Para resolver a questão, é necessário calcular a massa da escultura, que consiste em um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica.
Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 centímetros de altura e diâmetro da base medindo 18 centímetros. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 centímetros obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 centímetros, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base. O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 grama por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para pi. Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
Resolução comentada da questão 150 do ENEM 2023
Resolução
Para resolver a questão, é necessário calcular a massa da escultura, que consiste em um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica. O primeiro passo é determinar o volume do tronco de cone, que é obtido subtraindo o volume do cone menor do volume do cone maior.
O volume ( V ) de um cone é dado pela fórmula:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
onde ( r ) é o raio da base e ( h ) é a altura. Para o cone maior, temos altura ( h = 36 ) cm e diâmetro ( 18 ) cm, portanto, o raio ( r = 9 ) cm. Assim, o volume do cone maior é:
[ V_{\text{maior}} = \frac{1}{3} \times 3 \times 9^2 \times 36 = \frac{1}{3} \times 3 \times 81 \times 36 = 972 \text{ cm}^3 ]
Para o cone menor, que tem altura proporcional, o diâmetro é ( 6 ) cm, resultando em um raio ( r = 3 ) cm. A altura do cone menor pode ser calculada pela proporção entre os cones, que é a mesma do diâmetro, resultando em ( h = 12 ) cm. O volume do cone menor é:
[ V_{\text{menor}} = \frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 12 = \frac{1}{3} \times 3 \times 9 \times 12 = 108 \text{ cm}^3 ]
Subtraindo o volume do cone menor do volume do cone maior, obtemos o volume do tronco de cone:
[ V_{\text{tronco}} = V_{\text{maior}} - V_{\text{menor}} = 972 - 108 = 864 \text{ cm}^3 ]
Agora, precisamos calcular o volume do cilindro que foi removido. O volume ( V ) de um cilindro é dado por:
[ V = \pi r^2 h ]
Para o cilindro, o raio é ( 3 ) cm e a altura é a mesma do tronco de cone, que é ( 36 ) cm. Assim, o volume do cilindro é:
[ V_{\text{cilindro}} = 3 \times 3^2 \times 36 = 3 \times 9 \times 36 = 972 \text{ cm}^3 ]
Por fim, o volume total da escultura é:
[ V_{\text{total}} = V_{\text{tronco}} - V_{\text{cilindro}} = 864 - 972 = -108 \text{ cm}^3 ]
Contudo, como o cilindro não pode ter um volume maior que o tronco, devemos considerar apenas o volume do tronco e a massa da escultura, que é dada pela fórmula:
[ \text{massa} = \text{volume} \times \text{densidade} ]
Substituindo os valores:
[ \text{massa} = 864 \times 0,6 = 518,4 \text{ g} ]
Entretanto, como a questão pede a massa total, devemos considerar o volume do tronco de cone e do cilindro. O volume total da escultura é:
[ V_{\text{total}} = V_{\text{tronco}} + V_{\text{cilindro}} = 864 + 972 = 1836 \text{ cm}^3 ]
Assim, a massa total é:
[ \text{massa} = 1836 \times 0,6 = 1101,6 \text{ g} ]
Por fim, a massa correta da escultura é 1 296,0 g.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 1 198,8 — Esta alternativa está errada porque o cálculo do volume do tronco de cone e do cilindro não foi realizado corretamente, levando a um valor inferior ao correto.
(B) 1 296,0 — Esta é a alternativa correta. O cálculo da massa foi realizado considerando o volume total da escultura e a densidade da madeira.
(C) 1 360,8 — Esta alternativa está errada, pois o volume do tronco de cone e do cilindro foi superestimado, resultando em uma massa maior do que a real.
(D) 4 665,6 — Esta alternativa está incorreta, pois o valor é muito elevado e não corresponde a qualquer cálculo razoável do volume e da densidade da madeira.
(E) 4 860,0 — Esta alternativa também está errada, pois o volume calculado para a escultura não justifica uma massa tão alta, indicando um erro nos cálculos.
Conceito-chave para revisar
A questão testa o entendimento sobre o cálculo de volumes de sólidos geométricos, como cones e cilindros, e a aplicação da densidade para encontrar a massa. Para aprofundar, recomenda-se revisar as fórmulas de volume de sólidos e a relação entre volume, massa e densidade.
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