ENEM 2023 — Questão 179: Matemática
Resposta: alternativa C
90 graus < alfa < 180 graus.
Para entender a questão, é fundamental lembrar do teorema de Pitágoras, que afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (neste caso, a pizza do professor) é igual à soma dos quadrados dos catetos (as pizzas dos amigos).
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura. Essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área de C1 é igual a área de C2 mais área de C3. Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar uminstrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo alfa, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas. A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Resolução comentada da questão 179 do ENEM 2023
Resolução
Para entender a questão, é fundamental lembrar do teorema de Pitágoras, que afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (neste caso, a pizza do professor) é igual à soma dos quadrados dos catetos (as pizzas dos amigos). Quando o professor afirma que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das pizzas dos amigos, isso acontece quando o ângulo alfa, formado entre os dois lados que representam as pizzas dos amigos, é maior que 90 graus.
Quando alfa está entre 90 e 180 graus, o triângulo formado é obtuso, o que implica que a hipotenusa (a pizza do professor) é maior do que a soma das outras duas medidas. Assim, a área da pizza do professor, que é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, será maior do que a soma das áreas das pizzas dos amigos, que são proporcionais aos quadrados dos seus diâmetros. Portanto, a condição correta para que a área da pizza do professor seja maior é que o ângulo alfa esteja entre 90 e 180 graus.
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) 0 grau < alfa < 90 graus.
Nesta faixa, o triângulo formado é acutângulo, o que significa que a hipotenusa não é maior do que a soma dos catetos. Portanto, a área da pizza do professor não seria maior que a soma das áreas das pizzas dos amigos.
(B) alfa = 90 graus.
Quando alfa é exatamente 90 graus, temos um triângulo retângulo. Nesse caso, a área da pizza do professor é igual à soma das áreas das pizzas dos amigos, já que a hipotenusa é igual à soma dos catetos. Portanto, a afirmação do professor não se sustenta.
(C) 90 graus < alfa < 180 graus.
Esta é a alternativa correta, pois, conforme explicado, um ângulo obtuso (entre 90 e 180 graus) garante que a hipotenusa é maior do que a soma dos catetos, resultando em uma área maior para a pizza do professor.
(D) alfa = 180 graus.
Um ângulo de 180 graus não forma um triângulo, mas sim uma linha reta. Portanto, não é possível falar em áreas de pizzas nesse caso, tornando essa alternativa inválida.
(E) 180 graus < alfa < 360 graus.
Assim como na alternativa anterior, um ângulo maior que 180 graus também não forma um triângulo, mas sim uma figura plana. Portanto, não se pode afirmar nada sobre as áreas das pizzas, tornando essa alternativa incorreta.
Conceito-chave para revisar
A questão explora o conceito de triângulos retângulos e ângulos obtusos, além de relacionar isso com o teorema de Pitágoras. Para aprofundar seus conhecimentos, revise as propriedades dos triângulos, especialmente as relações entre os lados e os ângulos, e como essas relações se aplicam a problemas de área.
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