ENEM 2022 — Questão 179: Matemática

Resolução comentada da questão 179 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de probabilidade em um contexto de eventos independentes. No caso da World Series, temos dois times que jogam até que um deles vença quatro partidas. A probabilidade de cada time vencer uma partida é de 1/2, ou seja, ambos têm chances iguais de ganhar.

A pergunta pede a probabilidade de que o time que venceu a primeira partida se torne o campeão. Para isso, precisamos considerar todos os possíveis resultados das partidas seguintes. Se o time A vence a primeira partida, ele precisa ganhar mais três partidas antes que o time B ganhe quatro. Podemos calcular isso considerando as sequências de vitórias que levam à vitória do time A. As combinações possíveis que resultam na vitória do time A, após vencer a primeira partida, são aquelas em que o time A vence 3 das próximas 6 partidas, enquanto o time B pode vencer no máximo 3.

Usando a fórmula da combinatória, podemos determinar quantas sequências de vitórias são possíveis. O total de maneiras de o time A vencer 3 partidas em um total de 6 é dado por ( \binom{6}{3} = 20 ). Além disso, o time A pode vencer a série em 4, 5, 6 ou 7 jogos. Somando todas essas possibilidades, obtemos 42 sequências em que o time A, que venceu a primeira partida, também se torna campeão. Assim, a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida é ( \frac{42}{64} ), simplificando para ( \frac{21}{32} ).

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 35/64: Esta alternativa considera um número incorreto de sequências em que o time A vence, subestimando as combinações possíveis que levam à vitória do time que venceu a primeira partida.

(B) 40/64: Esta opção também apresenta um erro na contagem das sequências de vitórias. O número de combinações que resultam na vitória do time A é maior do que 40, pois não contabiliza corretamente as vitórias em diferentes cenários.

(C) 42/64: Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) 44/64: Esta alternativa superestima o número de sequências possíveis, considerando mais vitórias do que realmente existem para o time A após vencer a primeira partida.

(E) 52/64: Esta opção é completamente errada, pois sugere um número excessivo de vitórias para o time A, desconsiderando a necessidade de o time B também vencer algumas partidas.

Conceito-chave para revisar

A questão testa o conceito de probabilidade em eventos independentes e a aplicação de combinatória para calcular as diferentes sequências de resultados em um torneio. Para aprofundar, é recomendável estudar as regras de probabilidade e combinatória, que são fundamentais em problemas de contagem e análise de cenários.