ENEM 2022 — Questão 163: Matemática
Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação: • naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde. Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã. De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
Resolução comentada da questão 163 do ENEM 2022
Resolução
Para resolver a questão, é necessário entender as características dos apartamentos em relação à incidência de sol. Os apartamentos que terminam em 1 ou 2 têm ambos os quartos recebendo sol pela manhã. Aqueles que terminam em 3, 4, 5 ou 6 têm apenas um quarto recebendo sol pela manhã. Por fim, os apartamentos que terminam em 7 ou 8 não têm quartos que recebem sol pela manhã.
A pessoa deseja comprar 2 apartamentos em um mesmo andar, garantindo que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã. Portanto, devemos considerar apenas os apartamentos que terminam em 1, 2, 3, 4, 5 e 6, totalizando 6 apartamentos por andar. A escolha de 2 apartamentos entre esses 6 pode ser feita de forma combinatória, utilizando a fórmula de combinação, que é dada por ( C(n, k) = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} ). Neste caso, temos ( n = 6 ) (apartamentos que recebem sol pela manhã) e ( k = 2 ) (apartamentos a serem escolhidos). Assim, a quantidade de maneiras de escolher 2 apartamentos é ( C(6, 2) = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} ). Como existem 9 andares, multiplicamos o resultado por 9, resultando em ( 9 \times C(6, 2) ).
Por que as outras alternativas estão erradas
(A) Esta alternativa sugere ( 9 \times \frac{6!}{(6 - 2)!} ), o que representa uma permutação, não uma combinação. A ordem dos apartamentos não importa, portanto, essa alternativa está errada.
(B) Esta é a alternativa correta — ver acima.
(C) Aqui, a expressão ( 9 \times \frac{4!}{((4 - 2)! \cdot 2!)} ) está incorreta, pois considera apenas 4 apartamentos, enquanto precisamos de 6. Portanto, essa alternativa não atende à condição da questão.
(D) A alternativa apresenta ( 9 \times \frac{2!}{((2 - 2)! \cdot 2!)} ), que resulta em 9, uma quantidade irrelevante para o problema, já que não estamos escolhendo 2 apartamentos de um total de 2. Assim, está errada.
(E) A expressão ( 9 \times \left(\frac{8!}{((8 - 2)! \cdot 2!)} - 1\right) ) é incorreta porque considera 8 apartamentos, incluindo aqueles que não recebem sol pela manhã (terminando em 7 e 8). Além disso, a subtração de 1 não se aplica ao contexto da escolha.
Conceito-chave para revisar
A questão aborda o conceito de combinações, que é fundamental em problemas de contagem. Combinações são usadas quando a ordem dos elementos não importa, ao contrário das permutações. Para aprofundar, estude a fórmula de combinações e suas aplicações em problemas de contagem em matemática.
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