ENEM 2022 — Questão 161: Matemática

Resolução comentada da questão 161 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de volume de um cone. O volume ( V ) de um cone circular reto é dado pela fórmula:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

onde ( r ) é o raio da base e ( h ) é a altura do cone. No enunciado, o cone original tem um diâmetro de 8 cm, o que significa que o raio ( r ) é 4 cm (já que ( r = \frac{diâmetro}{2} )). A altura ( h ) é de 10 cm. Assim, o volume do cone original é:

[ V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (10) = \frac{1}{3} \pi (16) (10) = \frac{160}{3} \pi \text{ cm}^3 ]

A empresa decide produzir um novo chocolate com um volume 19% menor. Portanto, o novo volume ( V' ) é:

[ V' = V - 0,19V = 0,81V = 0,81 \cdot \frac{160}{3} \pi = \frac{128}{3} \pi \text{ cm}^3 ]

Agora, sabemos que a altura do novo cone continua sendo 10 cm. Usando a fórmula do volume novamente, podemos encontrar o novo raio ( r' ):

[ \frac{128}{3} \pi = \frac{1}{3} \pi (r'^2)(10) ]

Eliminando ( \frac{1}{3} \pi ) de ambos os lados, temos:

[ 128 = r'^2 \cdot 10 ]

Isolando ( r'^2 ):

[ r'^2 = \frac{128}{10} = 12,8 ]

Portanto, o novo raio ( r' ) é:

[ r' = \sqrt{12,8} \approx 3,60 \text{ cm} ]

Assim, a alternativa correta é (C) 3,60.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 1,52. Esta alternativa está errada porque o cálculo do raio não corresponde ao volume reduzido do cone. O volume do cone com raio 1,52 cm e altura 10 cm seria muito menor do que o volume desejado.

(B) 3,24. Essa opção também está incorreta, pois o volume gerado por um cone com raio de 3,24 cm e altura de 10 cm não atinge o volume de ( \frac{128}{3} \pi ) cm³, que é o volume correto para o novo chocolate.

(C) 3,60. Esta é a alternativa correta — ver acima.

(D) 6,48. O volume de um cone com raio de 6,48 cm e altura de 10 cm seria maior do que o volume original, portanto não atende à condição de ser 19% menor.

(E) 7,20. Assim como a alternativa (D), essa opção resulta em um volume que excede o volume desejado, tornando-a uma resposta incorreta.

Conceito-chave para revisar

A questão explora o conceito de volume de um cone e a aplicação de porcentagens para determinar um novo volume. Para aprofundar, é recomendável revisar a fórmula do volume de sólidos geométricos e a manipulação de porcentagens em problemas de redução e aumento.