ENEM 2022 — Questão 147: Matemática

Resolução comentada da questão 147 do ENEM 2022

Resolução

O modelo 5 é o único que ganha volume de verdade, e o motivo está em uma palavra do enunciado: ele dobra o raio da base, não a área. Dobrar o raio quadruplica a área da base, e isso mais do que compensa a profundidade cortada pela metade.

O volume de um cilindro reto é o produto da área da base pela profundidade:

$V = A_b \cdot P$

Como a base é circular, vale $A_b = \pi r^2$. O detalhe que decide a questão está aí: quando o enunciado mexe direto na área da base, o efeito é proporcional; quando ele mexe no raio, a área muda ao quadrado. Trocar um caso pelo outro é o erro mais comum nesse tipo de item.

Tomando o modelo 1 como referência — profundidade $P$, área da base $A_b$ e volume $A_b \cdot P$:

• Modelo 2: dobro da profundidade e metade da área da base. Logo $V_2 = \frac{1}{2} A_b \cdot 2P = A_b \cdot P$, igual ao modelo 1.
• Modelo 3: dobro da profundidade e metade do raio. A área da base vira $\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} A_b$, então $V_3 = \frac{1}{4} A_b \cdot 2P = \frac{1}{2} A_b \cdot P$, metade do modelo 1.
• Modelo 4: metade da profundidade e dobro da área da base. Logo $V_4 = 2 A_b \cdot \frac{1}{2} P = A_b \cdot P$, igual ao modelo 1.
• Modelo 5: metade da profundidade e dobro do raio da base. A área da base vira $\pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 = 4 A_b$, então $V_5 = 4 A_b \cdot \frac{1}{2} P = 2 A_b \cdot P$, o dobro do modelo 1.

Colocando os cinco lado a lado: $A_b P$, $A_b P$, $0,5 A_b P$, $A_b P$ e $2 A_b P$. O modelo 5 é o único que supera todos os outros, e é ele que a pessoa deve comprar. Resposta: (E).

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) O modelo 1 tem volume $A_b \cdot P$, empatado com os modelos 2 e 4 e igual à metade do volume do modelo 5. Não é a maior capacidade da loja.

(B) No modelo 2 os dois ajustes se cancelam: dobrar a profundidade multiplica o volume por 2, cortar a área da base pela metade divide por 2, e sobra exatamente $A_b \cdot P$.

(C) O modelo 3 é o pior dos cinco. Reduzir o raio à metade divide a área da base por 4, e dobrar a profundidade não compensa essa perda: resta $\frac{1}{2} A_b \cdot P$.

(D) O modelo 4 tem volume igual ao do modelo 1, porque dobrar a área da base compensa exatamente a profundidade cortada pela metade.

(E) Esta é a alternativa correta — ver acima.

Conceito-chave para revisar

Volume do cilindro e efeito de escalar dimensões. Multiplicar a profundidade por $k$ multiplica o volume por $k$; multiplicar o raio por $k$ multiplica a área da base — e o volume — por $k^2$. Revisar essa diferença entre variação linear e quadrática resolve boa parte das questões de sólidos do ENEM.