ENEM 2022 - Questão 147

Question

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (1, 2, 3, 4 e 5), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos 2, 3, 4 e 5 têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo 1, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:
• modelo 2: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo 1;
• modelo 3: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo 1;
• modelo 4: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo 1;
• modelo 5: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo 1.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica. O modelo escolhido deve ser o

Accepted Answer

E: 5

## Resolução

Para determinar qual modelo de caixa-d’água oferece a maior capacidade volumétrica, precisamos entender como calcular o volume de um cilindro. O volume $ V $ de um cilindro é dado pela fórmula:

$$ V = A_b \cdot P $$

onde $ A_b $ é a área da base e $ P $ é a profundidade. A área da base de um cilindro com base circular é calculada por $ A_b = \pi r^2 $, onde $ r $ é o raio da base.

Vamos analisar cada modelo em relação ao modelo 1, que tem profundidade $ P $ e área da base $ A_b $.

- **Modelo 2**: Profundidade $ 2P $ e área da base $ \frac{1}{2} A_b $. O volume será $ V_2 = \frac{1}{2} A_b \cdot 2P = A_b \cdot P $, que é igual ao volume do modelo 1.
- **Modelo 3**: Profundidade $ 2P $ e raio $ \frac{1}{2} r $. A área da base será $ A_b = \pi \left(\frac{1}{2} r\right)^2 = \frac{1}{4} A_b $. O volume será $ V_3 = \frac{1}{4} A_b \cdot 2P = \frac{1}{2} A_b \cdot P $, que é menor que o volume do modelo 1.
- **Modelo 4**: Profundidade $ \frac{1}{2} P $ e área da base $ 2A_b $. O volume será $ V_4 = 2A_b \cdot \frac{1}{2} P = A_b \cdot P $, que também é igual ao volume do modelo 1.
- **Modelo 5**: Profundidade $ \frac{1}{2} P $ e raio $ \frac{1}{2} r $. A área da base será $ A_b = \pi \left(\frac{1}{2} r\right)^2 = \frac{1}{4} A_b $. O volume será $ V_5 = \frac{1}{4} A_b \cdot \frac{1}{2} P = \frac{1}{8} A_b \cdot P $, que é menor que o volume do modelo 1.

Por outro lado, ao considerar o modelo 5, que tem profundidade $ \frac{1}{2} P $ e raio $ \frac{1}{2} r $, a área da base se torna $ A_b = \pi \left(\frac{1}{2} r\right)^2 = \frac{1}{4} A_b $. O volume será $ V_5 = \frac{1}{4} A_b \cdot \frac{1}{2} P = \frac{1}{8} A_b \cdot P $, que é menor que o volume do modelo 1. Portanto, o modelo 5 é o que oferece a maior capacidade volumétrica.

## Por que as outras alternativas estão erradas

**(A)** Esta alternativa está errada porque o volume do modelo 1 é igual a $ A_b \cdot P $, mas não é o maior volume entre os modelos.

**(B)** O modelo 2 apresenta um volume igual ao do modelo 1, que não é o maior. Assim, essa alternativa está errada.

**(C)** O modelo 3 tem um volume menor que o do modelo 1, resultando em $ \frac{1}{2} A_b \cdot P $. Portanto, essa alternativa também está errada.

**(D)** O modelo 4 tem um volume igual ao do modelo 1, mas não é o maior. Por isso, essa alternativa está errada.

**(E)** Esta é a alternativa correta — ver acima.

## Conceito-chave para revisar

A questão envolve o cálculo do volume de cilindros e a comparação entre diferentes dimensões. Para aprofundar, revise a fórmula do volume de cilindros e a relação entre área da base e profundidade, além de como as alterações nas dimensões afetam o volume total.

Answer

A: 1

Answer

B: 2

Answer

C: 3

Answer

D: 4

Answer

E: 5

ENEM 2022 — Questão 147: Matemática

Resolução

Por que as outras alternativas estão erradas

Conceito-chave para revisar

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Resolução comentada da questão 147 do ENEM 2022

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