ENEM 2022 — Questão 141: Matemática

Resolução comentada da questão 141 do ENEM 2022

Resolução

Para resolver essa questão, é fundamental entender o conceito de volume de uma esfera, que é dado pela fórmula ( V = \frac{4}{3} \pi r^3 ), onde ( r ) é o raio da esfera. No caso dos docinhos, inicialmente temos esferas com 2 cm de diâmetro, o que significa que o raio é de 1 cm. Portanto, o volume de um docinho pequeno é:

[ V_{\text{pequeno}} = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi , \text{cm}^3. ]

Como a cozinheira produz 50 docinhos pequenos, o volume total da porção de massa que ela utiliza é:

[ V_{\text{total pequeno}} = 50 \times \frac{4}{3} \pi = \frac{200}{3} \pi , \text{cm}^3. ]

Agora, para os docinhos que o cliente pediu, cada um tem 4 cm de diâmetro, ou seja, o raio é de 2 cm. O volume de um docinho grande é:

[ V_{\text{grande}} = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{32}{3} \pi , \text{cm}^3. ]

Como o cliente deseja 150 docinhos grandes, o volume total necessário para essa encomenda é:

[ V_{\text{total grande}} = 150 \times \frac{32}{3} \pi = 1600 \pi , \text{cm}^3. ]

Para descobrir quantas porções da receita-base são necessárias, basta dividir o volume total necessário pelos 200/3 π cm³ que uma porção produz:

[ \text{Número de porções} = \frac{1600 \pi}{\frac{200}{3} \pi} = \frac{1600 \times 3}{200} = 24. ]

Assim, a cozinheira deve preparar 24 porções da receita-base de massa.

Por que as outras alternativas estão erradas

(A) 2: Essa alternativa sugere que a cozinheira precisaria de apenas 2 porções, o que é incorreto, pois o volume total dos docinhos grandes excede o que seria produzido com apenas 2 porções.

(B) 3: Com 3 porções, o volume total seria insuficiente para atender a demanda de 150 docinhos grandes, já que isso resultaria em apenas 300 cm³, muito abaixo do necessário.

(C) 6: Se a cozinheira preparasse 6 porções, o volume total ainda seria insuficiente, totalizando 600 cm³, o que não atende a necessidade de 1600 cm³.

(D) 12: Com 12 porções, o volume total seria 1200 cm³, ainda não suficiente para produzir os 150 docinhos grandes, que exigem 1600 cm³.

(E) 24: Esta é a alternativa correta — ver acima.

Conceito-chave para revisar

A questão aborda o cálculo de volumes de esferas e a aplicação de proporções para determinar quantas porções de uma receita são necessárias para atender a uma demanda específica. Para aprofundar, você pode revisar a fórmula do volume da esfera e exercícios relacionados a problemas de proporção e volume em livros de matemática do ensino médio.